Урок. Системы уравнений

 

Цель: Рассмотреть некоторые новые способы решения систем уравнений. Ход уроков I. Сообщение темы и цели уроков П. Повторение и закрепление пройденного материала 1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач). 2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа). Вариант 1 1. Постройте график уравнения (у - 2х)(х + 2) = 0. 2. Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3|jcj + 2\у\ ( 6, и найдите площадь этой фигуры. 3. Решите уравнение 2ху + - У = 4 в целых числах.

Вариант 2 1. Постройте график уравнения + Зх)(х - 2) = 0. 2.

Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3|х| + 4\у\ ( 12, и найдите площадь этой фигуры. 3. Решите уравнение 2ху + х - 2у = 4 в целых числах. III. Изучение нового материала Начиная с 7 класса в курсе алгебры изучались различные системы уравнений с двумя переменными.

Для их решения использовались метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных, графический метод. На этом уроке мы рассмотрим несколько Необычные применения Таких методов, а также и Другие способы решения Систем уравнения.

Как обычно, вначале уточним некоторые понятия. Определение 1. Уравнения Р(х; у) = 0 и Q(X; у) = 0 образуют Сис- Тему уравнении ( Если необходимо найти такие пары [Q(X; у) = 0, Чисел (х; У\ Которые удовлетворяют каждому уравнению.

При этом пару значений (х; у) Называют Решением системы уравнений. Решить систему уравнений - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. По аналогии можно говорить и о системе трех уравнений с тремя Р(х; у; Z) = О, переменными: ( Q(X; у; Z) = 0, При этом необходимо найти тройки Г(х; у; Z) = 0. Чисел (х; у; Z), удовлетворяющих Всем Уравнениям системы. Также можно говорить о системах уравнений, содержащих любое число уравнений и любое число переменных. Основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе От сложного уравнения к более простому, Но Равносильному исходному. При этом в системе уравнений, как правило, стремятся Получить Хотя бы одно Линейное уравнение. Если происходит Переход к уравнению-следствию, То обязательна Проверка корней, Т. к. возможно появление посторонних решений.

То же можно сказать и о системах уравнений. Определение 2. Две системы уравнений называют Равносильными, Если они имеют одни и те же решения или решений не имеют.

Метод подстановки, метод алгебраического сложения и метод введения новых переменных приводят к равносильным преобразованиям системы уравнений. Если в процессе решения используются Неравносильные преобразования Хотя бы одного уравнения (возведение в квадрат обеих частей уравнения, умножение уравнений системы, преобразования, приводящие к расширению области определения уравнения, и т. д. ), то Необходима проверка решений Их Подстановкой В исходную систему.

После предварительных замечаний перейдем к системе уравнений. Обратите внимание на то, что для наиболее рационального решения данной системы всегда Учитывается Ее Специфика (в каждом примере мы будем специально это оговаривать). Начнем с Систем линейных уравнений. Пример 1 2X + Y + Z = \, Решим систему уравнений \ х + 2у + Z = 3, Jc+v + 2z = 4. Видно, что каждая переменная входит в систему ровно четыре раза.

Поэтому Сложим все три уравнения И получим: 4X + 4Y + 4Z = 8, откуда сумма всех переменных: л: + j) + z = 2. В каждом уравнении будем Выделять Это Равенство. Из первого уравнения системы имеем: Х + + У + z) = 1 или Х + 2 = 1, откуда д: = —1.

Из второго уравнения получаем: ( + )) +z)+_y = 3 или 2+^ = 3, тогда У= 1. Из третьего уравнения имеем: (x+j) + z) + z = 4 или 2 + z = 4, откуда z = 2. Итак, система уравнений имеет единственное решение (-1; 1; 2). При этом преобразования (сложение уравнений) были равносильны, и решение в проверке не нуждается. Пример 2 Х-\ _ у + 3 _ z-1 Решим систему уравнений ( 2 3 4 2x + 3^-5z + 26 = 0. Обращает на себя внимание непривычность первого уравнения.

Используем способ подстановки и обозначим отношения, входящие _ „ х-1 У + 3 В первые уравнения буквой /(новая переменная): --------------- =-------- = =------ = /. Из этого равенства выразим старые переменные через Новую: Х = 2/+ ]; У = 3/- 3; z = 4/+ 1. Подставим эти выражения во второе уравнение системы и получим: 2(2/н-1) + 3(3/— 3) — -5(4/+1) + 26 = 0 или -7/+ 14 = 0, откуда /= 2. Теперь легко найти основные переменные: х = 2 - 2 + 1 = 5;_y = 3-2-3 = 3;z = 42 + 1 =9. Использовался способ подстановки, и решение (5; 3; 9) проверять не надо. Достаточно часто встречаются ситуации, когда число переменных в системе превосходит число уравнений. Разумеется, найти все переменные невозможно.

 

Однако определенную их комбинацию можно вычислить. Пример 3 Школьник истратил некоторую сумму денег на покупку портфеля, книг и авторучки. Если бы портфель стоил в 2 раза дешевле, авторучка - в 6 раз дешевле, а книги - в 3 раза дешевле, то покупка стоила бы 700 руб. Если бы по сравнению с первоначальной стоимостью портфель стоил в 2 раза дешевле, авторучка - в 2 раза дороже, а книги - в 1,25 раза дороже, то школьник уплатил бы 2075 руб. Сколько стоит первоначальная покупка? На сколько рублей портфель дороже авторучки? Первый этап. Составление математической модели.

Пусть первоначальная стоимость портфеля Х Рублей, книг - У Руб. , авторучки - z руб. По условиям задачи легко записать систему урав- ± + £ + Z = 700, 9 F\ "К Нений I Сразу удобно избавиться от дробей в - + 2z + 1,25.

y = 2075. 2 Системе. Для этого умножим все члены первого уравнения на 6, вто- F3x + 2.

y + z = 4200, Рого - на 4 и получим: , [2x + 5y + 8z = 8300. Второй этап. Работа с составленной моделью. Мы имеем систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Поэтому однозначно определить все переменные невозможно. Но нас интересуют только две комбинации неизвестных: A = X+Y + Z (стоимость всей покупки) и Ь = Х - Z (на сколько портфель дороже авторучки).

Для их нахождения можно использовать два способа. Первый способ (метод подстановки). Из полученной системы можно выразить две неизвестные через третью. Выразим сначала из первого уравнения z = 4200 - Зх - 2у и Подставим во второе уравнение.

Получаем: 2х + 5у + 8(4200 - Зх - 2у) = 8300, или 22х + 1 \у = = 25 300, или + У = 2300. Теперь выразим переменную У = 2300 - 2х. Подставим эту величину в выражение для z: 4200 - Зх - 2у = = 4200 - Зх - 2(2300 - 2х) = х - 400.

Получили: У = 2300 - И z = Х - 400. Наконец найдем величины: (3 = x+_y + z=x + (2300 - 2х) + + (х-400) = 1900 и B = X-Z = X-(х-400) = 400. Второй способ (метод алгебраического сложения). Внимательно присмотримся к коэффициентам при переменных в полученной системе. Для нахождения величины А Надо, чтобы эти коэффициенты в итоговом равенстве стали одинаковыми.

Поэтому умножим все члены [9x + 6y + 3z = 12600, первого уравнения на 3 и получим систему: \ [2x + 5j) + 8z = 8300. Сложим уравнения системы: 1 + 11 У + 1 lz = 20 900, и тогда Х + У + Z ^ = а=1900. Для нахождения величины B Необходимо исключить переменную У. Поэтому в полученной системе первое уравнение умножим на 5, второе Fl5x + 10^ + 5z = 2100, уравнение - на (—2). Имеем систему: ( Сло- [-4X-\0Y-\6Z = -16600. Жим уравнения системы: \\х - \\Z = 4400, и тогда X-Z=B — 400. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. На втором этапе были использованы равносильные преобразования (метод подстановки или метод сложения).

Поэтому полученные ответы не нуждаются в проверке. Итак, первоначальная стоимость всей покупки 1900 руб.

и портфель дороже авторучки на 400 руб. Теперь перейдем к Нелинейным системам Уравнений и рассмотрим два очень распространенных вида таких систем: Однородные Системы и Симметричные Системы. Сначала обсудим Однородные системы. Пример 4 [у1 +2ху-3х2 =0, Решим систему уравнений ( [у2 +3х2 =4. Особенностью системы является то, что первое уравнение - Однородное. Решим его, считая У Неизвестной, ал:- постоянной величиной.

Получаем: У = - х±л]х2 + Зх2 = -х±2х, Т. е. У\ = х И У2 = -Зл:. Таким образом, нашли Линейную связь между переменными (фактически получили Линейное уравнение). Далее исходная система сводится к совокупности двух систем уравнений: \у = х, А) 1 . . Решения этой системы (1; 1), (-1; -1); [у +3х2 = 4. При решении исходной системы все преобразования были равносильными. Поэтому решения проверять не надо. Исходная система ( 1 ^ ( 1 ^ Имеет четыре решения: (1; 1), (-1;-1), —=\-ыЪ , —J=\ V3 W3 У I v3 IV. Контрольные вопросы 1.

Система уравнений с двумя переменными и ее решение. 2. Система уравнений с тремя переменными и ее решение. 3. Равносильность систем уравнений. 4. Равносильные преобразования систем уравнений. 5. Однородные системы уравнений и их решение. 6. Симметричные системы уравнений и их решение. V. Задание на уроках § 59, № 1(a); 2 (б); 3 (в); 4 (а, г); 6 (б); 7 (а); 8 (а, б); 10 (а); 13 (б); 15 (б); 18 (а); 21 (б); 22 (а); 23 (б); 24; 26. VI. Задание на дом § 59, № 1 (г); 2 (а); 3 (г); 4 (б, в); 6 (а); 7 (б); 8 (в, г); 10 (б); 13 (а); 15 (а); 18 (б); 21 (а); 22 (б); 23 (а); 25; 27. VII. Подведение итогов уроков