Урок — Системы иррациональных уравнений

 

Цели: Рассмотреть наиболее типичные системы иррациональных уравнений; обсудить решение иррациональных неравенств. Ход уроков I. Сообщение темы и целей уроков II. Повторение и закрепление пройденного материала 1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач). 2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1 1. Дайте определение области допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства. Приведите примеры. 2.

Решите уравнения: А) ^/45 -2х2 -3; Б) л/Зх-2=5д:-8; В) )/Зх + 1+2л/5д:-1=6. Вариант 2 1. Дайте определение области существования решений (ОСР) уравнения или неравенства. Приведите примеры. 2. Решите уравнения: А)^/3х2+15=3; Б) V5x + l=3x-5; В) л/5х + 6+2л/х + 2=8. III. Изучение нового материала Прежде всего остановимся на Системах иррациональных уравнений. Как правило, такие системы решатся с помощью Замены Переменных (или переменной).

Пример 1 Решим систему уравнении ( V [х + у = 9. Введем две новые переменные A = Цх И Ь = Цу. Тогда получим cellspacing=0 cellpadding=0 hspace=0 vspace=0 height=19>

Систему алгебраических уравнений \ 3 Левую часть второ-

[а + 6 = 3, U3+Z)3=9. cellspacing=0 cellpadding=0 hspace=0 vspace=0 height=18>

Го уравнения разложим на множители «j, w 2 2 и

\A + B = 3, cellspacing=0 cellpadding=0 hspace=0 vspace=0 height=19>

Системе уравнений •{ 2 Из первого уравнения выразим

[(A + B)(A2-Ab + B') = 9 Подставим первое уравнение во второе. Приходим к симметричной \A + B = 3, [A2-Ab + Bz=3. B = 3 - а И подставим во второе. Получаем: А2 - а(3 - а) + (3-а)2 =3 или А2 - За + 2 = 0. Корни этого уравнения А\ = 1 и Аг = 2. Соответст- Уроки 11-12. Системы Иррациональных Уравнений. Иррациональные Неравенства 41 Вующие значения Ь\ = 2 И Ь2 = 1.

Вернемся к старым переменным и получим две простейшие системы уравнении: ( (решение Х = 1, д) = 8) и •{ __ (решениех = 8,У = 1). Таким образом, дан- Ная система уравнений имеет два решения: (1; 8) и (8; 1). Пример 3 Решим систему уравнении ( _____ ___ У]х2 -у+л]х2 +у=4. . Возведем первое уравнение в квадрат и получим: х + -Jy - - 2Yjx2 - у + х - У[у = 4 или х - 2 = ^/х2 - У. Учтем, что х - 2 ) 0 (т. е. х ) 2 - ОСР), и вновь возведем обе части уравнения в квадрат: 42 Глава 6. Степени И Корни. Степенные Функции Х2 - 4х + 4 = Х - у, Откуда У = 4х - 4. Таким образом, нашли линейную связь между неизвестными jc и У. Подставим соотношение У = 4х - 4 во второе уравнение системы: \1х2 - + 4 + \1х2 + - 4 = 4, или |х - 2| + Vx2 + 4jc - 4 = 4, или Х-2 +Vx2 + 4х-4 = 4 (учтено, что х ) 2 и \х - 2| = х - 2), откуда V2 + 4х-4 = 6-х (заметим, что Х ( 6 - ОСР). Возведем в квадрат, Обе части уравнения: Х2 + 4х-4 = 36-12х + х2 - и найдем х =— =—, которое удовлетворяет условиям 2 ( х ( 6.

Теперь определим У = 4----- 4 = 6. Итак, данная система имеет единственное решение Обратимся теперь к Иррациональным неравенствам. Если в случае уравнений и систем уравнений, как правило, было конечное число решений (и их можно было легко проверить подстановкой), то в случае неравенств решением являются числовые промежутки, которые подстановкой проверить невозможно. Поэтому в иррациональных неравенствах необходимо четко контролировать ОДЗ и ОСР. Пример 4 Решим неравенство Vx2-4x + 3 Гчтто Х2-5х + 6 _ _ ОДЗ неравенства задается условием —-- — ) 0. I ак как левая Х -4х + 3 Часть неравенства по определению арифметического корня неотрицательна, а правая часть является отрицательным числом, то ОСР - любое действительное число х. Поэтому данное неравенство выполняется при всех значениях х, которые входят в ОДЗ. Другими слова- Х2-5х + 6 п ми, данное неравенство равносильно неравенству —-------------- ) 0, или (Х-2)(Х-3) Л Х-2 , Л ------------- ) 0, или ------ ) 0 и х Ф 3.

Решая такое неравенство ме- (x-l)(-3) х-1 Тодом интервалов, получим: х е (-оо; 1)U[2; 3)U(3; (»). Уроки 11-12. Системы Иррациональных Уравнений. Иррациональные Неравенства 43 Запомните железное Правило: Обе Части Неравенства можно ВозВодить в четную степень, если эти части неотрицательны. Пример 5 Решим неравенство v6x 4- 4 ( Зх - 2.

ОДЗ неравенства задается условием + 4 ) 0, откуда Х е Так как левая часть неотрицательна, то правая часть неравенства тем более должна быть неотрицательной. Поэтому ОСР определяется условием Зх - 2 ) О, откуда Х е Так как обе части неравенства неотрицательны, то возведем их в квадрат.

При этом знак неравенства сохраняется. Получаем: 6х + 4(9д:2 -12+ 4 или 0 ( Х(х - 2). Решение этого квадратного неравенства Х е (-оо; 0] U [2; оо). С учетом ОДЗ и ОСР получаем решение данного иррационального неравенства Х Е [2; со).

Дадим графическую иллюстрацию решения. На рисунке приведены эскизы графиков У} = V6jM-4 (сплошная линия) и У2 = Зх - 2 (штрихпунктирная линия). Видно, что неравенство У\ ( Yi (график У\ Располагается не выше графика^) при Х Е [2; со). Пример 6 Решим неравенство v2jc + 14 ) Х + 3.

ОДЗ неравенства Х Е [-7; со), ОСР - любое действительное число л:. При этом правая часть неравенства может быть как отрицательной, так и неотрицательной. В связи с этим естественным образом возникают два случая. А) Если Х + 3 ( 0, то неравенство, очевидно, выполняется при всех х, Fx + 3(0, входящих в ОДЗ. Имеем систему линейных неравенств ( Решение которых Х(-3, Откуда Х в [-7; - 3). Б) Если Х + 3 ) 0, то имеем право возвести в квадрат обе части данного иррационального неравенства. Получаем систему неравенств: cellspacing=0 cellpadding=0 hspace=0 vspace=0 height=17> При этом в силу второго неравенства величина

Jx + 3)0, [2х+14)(х + ЗУ.

 

+ 14 больше квадрата некоторого выражения и будет положительной. Поэтому решения второго неравенства (и всей системы этого случая) автоматически входят в ОДЗ. Никаких дополнительных условий записывать не надо. cellspacing=0 cellpadding=0 hspace=0 vspace=0 height=17>

Решая систему случая б, получаем:

cellspacing=0 cellpadding=0 hspace=0 vspace=0 height=17>

Или

[)-3, |2х + 14)х2+6х + 9 cellspacing=0 cellpadding=0 hspace=0 vspace=0 height=15>

|х)—3,

Fjc ) -3, cellspacing=0 cellpadding=0 hspace=0 vspace=0 height=17>

Откуда

Решение этих неравенств cellspacing=0 cellpadding=0 hspace=0 vspace=0 height=17>

-5 ( Х ( 1,

|0)х2+4х-5. хе[-3;1). Объединяя ответы случаев а и б, получаем окончательное решение данного иррационального неравенства Х Е [-7; 1). Приведем графическую интерпретацию решения неравенства.

Построим эскизы графиков функций Ух = V2x + 14 (сплошная линия) и Уг = х + 3 (штрихпунктирная линия). Неравенство У\ ) уг (т.

е. график ^i лежит выше графика^) выполняется при Х е [-7; 1). У к Разумеется, при решении иррациональных неравенств используются те же приемы, что и в случае уравнений и систем уравнений, в частности замена переменной. Пример 7 Решим неравенство, - л/5 - Х ( 2. \15-х ОДЗ данного неравенства задается условием 5 - Х ) О, откуда Х ( 5. Введем новую переменную /= л/5-jc (где T ) 0). 11олучаем неравен- 3 ство — /( 2. Так как величина /) 0, то умножим ^бе части неравенства на /.

При этом знак неравенства сохраняется. Получаем квадратное неравенство: 3 - Z2 ( 2/или 0 ( Z2 + 2T - 3. Его решения /( —3 и T ) 1.

Так как /) 0, то неравенство T ( -3 не выполняется. Рассмотрим неравенство /) 1 (при этом условие /) 0 выполнено) или Yj5-X ) 1.

Возведем в квадрат обе неотрицательные части этого неравенства. Получаем: 5 - Х ) 1, откуда jc ( 4. Итак, решение данного неравенства jc € (-оо; 4). Как и при решении неравенств других типов, наиболее ЭффективНым и мощным методом Решения иррациональных неравенств является Метод интервалов. Однако использовать его можно только В области непрерывности Рассматриваемой функции. Пример 9 Решим неравенство )/25-х2-3 V3x-l(2sinx-l) )0. ОДЗ неравенства задается условиями « 25-х2 ) 0, Зх -1 ) 0, Решение пер- 1 Sinx—. 2 cellspacing=0 cellpadding=0 hspace=0 vspace=0 height=17>

В этом интервале

Вых двух неравенств дает промежуток | —; 5 Найдем точки, в которых числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Получаем уравнения: л/25-х2 -3 = 0 (корень х = 4) и 1 . К Л _ 5я л _v л Sin х = — (решения х = — 0,5 и х = — «2,5).

Отметим эти точки 2 ^ 6 6 На числовой прямой. 4 5 х Определим знак левой части неравенства, например, в точке х = 3 У25-32-3 1 Л п И получим: . = —=------------ (0. Построим диа- )/3-3-1(2 sin 3-1) 2V2 (2 sin 3-1) грамму знаков дроби. На основании диаграммы выпишем ответ: cellspacing=0 cellpadding=0 hspace=0 vspace=0 height=17>

U[4; 5].

Я 5я cellspacing=0 cellpadding=0 hspace=0 vspace=0 height=11>

XG

6;Т V. Подведение итогов уроков