МЕТАФИЗИКА МАТЕМАТИКИ

Монография

Киров

ББК 22.1

В 39

Печатается по решению редакционно-издательского совета Вятского государственного гуманитарного университета и совета УМО по математике педвузов Волго-Вятского региона

Рецензенты:

А. В. Михалев, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей алгебры, проректор МГУ им. М. В. Ломоносова, академик РАЕН;

М. И. Ненашев, доктор философских наук, профессор, заведующий кафедрой философии и социологии ВятГГУ, академик РАЕН;

Г. И. Саранцев, доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой методики обучения математике Мордовского госпединститута им. М. Е. Евсевьева, член-корреспондент РАО

В 39 Вечтомов, Е. М. Метафизика математики [Текст]: Монография / Е. М. Вечтомов. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. - 508 с.

ISBN 5-93825-270-9

Рассматриваются элементы теории познания, взаимосвязь научного познания с математикой. Анализируются вопросы философии, методологии и дидактики математики. Излагаются избранные математические темы, имеющие методологическую подоплеку. Особое внимание уделено гносеологическим истокам и метафизическим основаниям математики. Автор выступает твердым и последовательным сторонником естественной фундаменталистской философии математики. Книга предназначена всем тем, кто любит математику и интересуется ее историей и философией.

ISBN 5-93825-270-9

© Вечтомов Е. М., 2006

© Вятский государственный гуманитарный университет (ВятГГУ), 2006

Оглавление

TOC o "1-3" h z Предисловие..................................................................................... 5

Введение. Феномен математики................................................. 8

Глава 1. Математика и теория познания................................. 16

§ 1. Объект и предмет математики....................................................... 17

§ 2. Гносеологические истоки математики......................................... 25

§ 3. О системе философских категорий................................................ 30

§ 4. Математика в свете философских категорий.............................. 39

§ 5. Модели и математическое моделирование.................................. 57

§ 6. Принципы научного познания и математика............................. 69

Глава 2. Два направления в философии математики....... 76

§ 7. О философии науки........................................................................... 78

§ 8. Исторический и социокультурный фон математики............... 100

§ 9. Сравнение фундаменталистской и нефундаменталистской

философии математики.................................................................. 115

§ 10. Умеренный платонизм - адекватная философия

математики................................................................................... 119

§ 11. Метафизика и постмодернизм..................................................... 126

Глава 3. Методология математики.......................................... 147

§ 12. Основания математики................................................................ 148

§ 13. Математика и логика.................................................................... 158

§ 14. Архитектура математики.............................................................. 169

§ 15. Фундаментальные понятия, идеи и методы математики..... 172

§ 16. Многоликий мир теорем............................................................... 188

§ 17. Типы математического мышления........................................... 195

Глава 4. Метафизика математики........................................... 199

§ 18. Истина и математика.................................................................... 201

§ 19. Эстетика математики.................................................................... 211

§ 20. Различные подходы к пониманию природы математики..... 217

§ 21. Место математики в научной картине мира............................ 224

§ 22. Основные положения метафизики математики..................... 231

Глава 5. Дидактика математики............................................... 238

§ 23. Математика и образование.......................................................... 240

§ 24. Традиции и новации...................................................................... 255

§ 25. Конкретная методика.................................................................... 268

§ 26. Воспитание интереса к математике........................................... 303

Приложение: Избранные вопросы математики................ 319

I. 
Натуральный ряд................................................................................. 321

II. 
Основы теории делимости............................................................... 347

III. 
Абстрактная делимость................................................................... 362

IV. 
Циклические группы и целые числа........................................... 379

V. 
Упорядоченные множества.............................................................. 391

VI. 
Метрика и топология....................................................................... 427

VII. 
Взаимосвязь основных математических структур................... 447

VIII. 
Некоторые классические модели.............................................. 460

Заключение................................................................................... 473

Библиографический список.................................................... 475

Предисловие

Разум человеческий владеет тремя ключами, открывающими все: цифрой, буквой, нотой.

Знать, думать, мечтать. Все в этом.

Виктор Гюго

Великий Гюго просто и четко выразил всю гамму человеческого бытия, выделив три ипостаси и три качества разума. На символах-китах цифре, букве и ноте зиждется человеческое познание. Цифры, буквы и ноты образуют общий алфавит языка познания и общения. Из цифр составляются числа, из букв складываются слова, за нотами стоит музыка, муза. В числах выражается точное знание, они принадлежат математике и науке в целом. Вне привычного языка человеку, по - видимому, трудно четко думать; человеческая мысль протекает в словесной форме, выражается в ней. Музы, рождая красоту, покровительствуют искусству и культуре.

Научное познание исследует и открывает истину. Художественное познание постигает и творит красоту, гармонию. Мир един и гармоничен. Мир един, но не однополярен. Любой полюс предполагает противоположный, и они вынуждены сосуществовать. Истина невозможна безо лжи, красота оттеняется безобразным. Это - логика, в которой заключена истина абсолютная. Безупречная истина гармонична, а настоящая красота истинна. Красота обосновывается наукой. Пушкинский Сальери изрек: «Поверил я алгеброй гармонию». Наука есть область культуры (в широком смысле слова). Но наука и искусство (в смысле ценностных идеалов и установок) принципиально отличаются друг от друга.

Называя фундаментальные категории истины и красоты, мы сразу вспоминаем понятие добро, составляющее вместе с ними знаменитую мировоззренческую триаду. Диалектика истины и красоты порождает добро. Согласно Бенджамину Франклину, «красота без доброты умирает невостребованной». Сама по себе беспристрастная истина может быть холодна и отстраненна, а блестящая красота казаться нам высокомерной и недоступной. Только союз истины и красоты служит духовным вектором человеческого познания, вызывает добрые чувства, противостоит злу.

Среди различных форм познания мира человеком мы выделяем две - математическую и философскую. Вторая часть высказывания Джорджа Сантаяны, что «подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике», выражает основополагающий методологический постулат - принцип математизации знания. И, соответственно, математический способ познания является ведущим в научном познании. Математическое познание схватывает изучаемые явления посредством математического моделирования и гипотетико-дедуктивного метода, опираясь на сокровищницу теорий и мощь аппарата существующей математики.

Философское познание имеет мировоззренческий характер. А его научный аспект заключен, прежде всего, в развивающейся системе основополагающих философских категорий. Система философских категорий служит понятийной, координатной сетью, набрасываемой на исследуемые объекты. Она подобна ситу, через которое просеиваются истины, напоминает целостный план возделывания поля, на котором будет произрастать и плодоносить фундаментальное знание. Философское познание способно открывать и всеобщие закономерности. Среди них первостепенное значение имеют фундаментальные законы диалектики, сформулированные великим Гегелем.

В нашей книге рассматриваются и анализируются такие оппозиции, как «наука-культура», «субъект-объект», «объект-знание», «объект-модель», а также взаимоотношения между логикой и математикой, математикой и наукой, математикой и философией, фундаменталистским и социокультурным направлениями в философии математики. Подчеркнем, что мы придерживаемся строго фундаменталистсих взглядов на природу математики. Исповедуем метафизический подход, при котором, в частности, математика выступает как универсальная и вполне самостоятельная форма познания. Считаем, что специфика математики состоит в непреходящей научной ценности всех ее центральных результатов.

В предисловии нужно отметить некоторые особенности данной работы. Монография является переработкой предыдущих книг автора «Философия математики» [95] и «Математические очерки» [96], развитием и уточнением представленных в них положений, заданием новых тем.

Заметим, что на нас определенное влияние оказали замечательные книги В. В. Мадера [317], Н. Н. Непейводы [383], В. Я. Перминова [412].

Содержание книги достаточно хорошо видно из ее оглавления. Первые четыре главы относятся собственно к философии (метафизике) математики. Пятая глава посвящена дидактико-методическим вопросам математики. Приложение призвано, отчасти, конкретизировать основную философско-методологическую часть работы. В научно - популярных очерках I-VIII изложен ряд основных тем классической математики. При этом автором разработаны собственные математико - методические подходы к изложению некоторых тем (скажем, I, III, V).

Каждый из 26 параграфов и введение завершается перечислением источников из общего библиографического списка, имеющих прямое отношение к тематике соответствующего раздела. Непосредственные ссылки на литературу даются лишь в необходимых случаях.

Использован ряд хорошо известных цитат, почерпнутых нами из известных сборников афоризмов [116, 194] и книг [258, 428, 542, 582 и др.]. Большой библиографический список, приведенный в конце монографии, заведомо неполон.

Тематика основной части предлагаемой работы довольно обширна и разнообразна. Одни вопросы проанализированы достаточно подробно, другие мы только затронули или обозначили. Что-то, безусловно, преподнесено автором поверхностно, а что-то, возможно, имеет определенную новизну.

Материал всей книги пронизан определяющими идеями единства математики и ее лидирующего положения в науке.

Мы надеемся, что знакомство с книгой будет небесполезно для людей с разной научной, философской или методической подготовкой, которым математика и ее осмысление небезразличны.

Вятка, май 2006 года.

Е. Вечтомов

Введение. Феномен математики

Математика - царица всех наук.

Карл Гаусс

Наука математика зародилась в древнегреческих школах Фалеса и Пифагора (VI-V века до н. э.). В качестве пранауки, набора алгоритмических правил, предназначенных для практических вычислений и измерений, математика существовала за тысячелетия до этого в Китае, Вавилоне, Египте. Но 2500 лет тому назад в первых научно-философских школах начал вызревать дедуктивный метод, направленный на логическое обоснование применяемых эмпирических правил и предполагающий более четкое осмысление исходных математических предпонятий числа и геометрической фигуры. Дедукция (выведение), то есть строгие логические рассуждения и доказательства, стала отправным пунктом развития математической науки. Знаменитые «Начала» Евклида явились важнейшим запечатленным свидетельством возникновения математики и образцом научности. Как отдельная наука, логика оформилась в трудах Аристотеля (IV век до н. э.), предложившего в своем «Органоне» первую формальную систему дедукции - теорию силлогизмов.

Почти одновременно со становлением математики в Древней Греции появляется философия (западная философия). Философия (по - гречески «любомудрие»), существующая с самого начала как единое учение о бытии, постепенно подразделяется на натурфилософию (первое учение о природе, основанное на наблюдении и эмпирии) и метафизику (умозрительное учение о первоначалах мироздания). В пифагорейской школе философия и математика теснейшим образом переплетались. Математика также имела натурфилософскую и метафизическую составляющие. У Евклида геометрия - это метафизика реального пространства.

Пифагореизм включал в себя математику и в своих представлениях существенно опирался на нее. Пифагор и его ученики считали математику уделом и привилегией избранных, дававших обет молчания о результатах своих размышлений. Открытие несоизмеримых отрезков (диагонали и стороны квадрата), приписываемое Гиппасу (по другим легендам, открытие сделал сам Пифагор или его ученик Теэтет), привело к расколу в рядах последователей Пифагора.

Суперрациональная и гармоничная философия Пифагора дала трещину. Изгнанный верными приверженцами пифагореизма Гиппас основал собственную школу, провозгласившую открытость математических знаний. И вслед за его сторонниками математика стала трактоваться (в переводе с греческого) как «учение», «наука», «учусь через размышление».

Платон называл математику «серединной наукой», связывающей преходящий и несовершенный Мир вещей (Теней) с вечным и божественным Миром Идей (Форм). Математика выступает в роли посредника, универсального средства связи между двумя Мирами - материальным и идеальным. Мир вещей дает толчок к пробуждению разума и познанию Идей. Процесс познания есть сократовский диалог (майевтика) разбуженного разума с разумом (возможно, с самим собой), вызывающий «припоминание идей» по Платону.

В Древнем Риме термином «humanitas», означающим по-латыни природу человека, обозначался курс обучения, включающий семь так называемых свободных искусств: арифметику, геометрию, астрономию, музыку, грамматику, логику и риторику. Последние три дисциплины составляли диалектику, то есть то, что делает возможным обучение. Эти предметы вошли в состав гуманитарных наук в эпоху Возрождения. До середины XIX века все образование было гуманитарным, с математикой в качестве центральной дисциплины. Только во второй половине XIX века гуманитарными были названы дисциплины, не относящиеся к естественным наукам. Произошел «трагический раскол культуры», как писал в своей книге «Две культуры» [503] Чарльз Сноу.

Никакая научная картина мира невозможна без математики. В своей наивной натурфилософии древние греки впервые в истории осознали могущество человеческого разума, признали необходимость и возможность исследования природы. Закон и порядок существуют в природе, и математика есть ключ к их пониманию. Математика способна открывать истины о природе [258, 259].

Механистическая картина мира, основоположником которой был Рене Декарт, целиком базировалась на математических законах. В «Принципах философии» он писал, что «одной лишь математики вполне достаточно для изучения физического мира, математика - сущность всех наук». Предвестниками философии картезианства были естествоиспытатели Николай Коперник, Тихо Браге и Иоганн Кеплер, открывшие математические законы гелиоцентрической системы мира. Галилео Галилей и Фрэнсис Бэкон обогатили научный метод Декарта, дополнив его экспериментальным способом познания. Ведущий гносеологический принцип - принцип математизации знания - Галилей выразил так: «Измерить все, что измеримо, и сделать измеримым то, что таковым пока еще не является». Методология Галилея подготовила почву для научных изысканий Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница.

Вслед за Галилеем Ньютон придерживался методологического принципа - для всякого явления природы искать его математическое описание, а не физическое объяснение. Данное положение совершенно созвучно следующему высказыванию знаменитого физика XX века Поля Дирака: «Доверять математической схеме, даже если она, на первый взгляд, не связана с физикой... Следует не доверять всем физическим концепциям». Это высказывание можно дополнить словами другого выдающегося физика Ричарда Фейнмана: «Каждый новый закон физики - это чисто математическое утверждение». В своем главном сочинении «Математические начала натуральной философии» Ньютон ставит математику на первое место в естествознании; для него математика не только инструмент физического познания, но и источник новых фундаментальных понятий. Ньютон и Лейбниц создали дифференциальное и интегральное исчисление - мощный аппарат научного изучения природы. В XVII-XVIII веках математика находилась в самом центре научного видения мира - сциентизма.

В механистической философии ведущим общим методом исследования выступает редукционизм, сводящий познание целого к его частям, которые в свою очередь разлагаются на определенные первичные элементы. Последующая дифференциация знания, вычленение и становление отдельных наук также базировались на принципе редукционизма. С философской точки зрения современная научная картина мира, признавая роль анализа, тяготеет к междисциплинарному синтезу наук, проповедует системный подход, холизм. Холистический принцип познания утверждает, что целое имеет новое, более высокое качество по сравнению с составляющими его частями, что выражается метафорой «целое больше суммы своих частей».

На протяжении XIX столетия математика постепенно вставала на современные рельсы. Многие интуитивно понимаемые математические абстракции, доказательства и построения обрели строгую логическую форму, сама логика математизировалась, появились неевклидовы геометрии, возникла канторовская теория множеств - основа обновленной классической математики. Принципиально изменились воззрения на математику, ее методология. Если раньше математика была мощным орудием научного познания действительности, то к началу XX века она становится универсальным средством описания возможных миров. Зародились главные направления в основаниях математики - логицизм, интуиционизм и формализм.

Аксиоматика Пеано натурального ряда чисел и аксиоматика Гильберта трехмерного евклидова пространства явились первыми ласточками всеобщей аксиоматизации математики в XX веке. Аксиоматическое изложение теоретико-множественной математики в своих многотомных «Элементах математики» осуществила группа французских ученых, работавших под псевдонимом Никола Бурбаки. С середины XX столетия математики начали использовать достаточно удобный теоретико-категорный язык, по своей выразительной силе эквивалентный теоретико-множественному языку. Успешное развитие математической логики и теории алгоритмов способствовало появлению первых ЭВМ. Созданная Норбертом Винером кибернетика (наука об управлении сложными процессами) и программирование вошли теперь в информатику. Бурный процесс компьютеризации подстегнул опережающее развитие дискретной математики и сделал возможным широчайшее применение метода математического моделирования. Возникшая 35 лет назад синергетика («совместное действие»), опирающаяся на современную теорию динамических систем, становится мощным инструментом исследования всевозможных нелинейных явлений, процессов неустойчивости, хаоса.

Философия науки на Западе в XX веке носила явный отпечаток релятивизма, натурализма и эмпиризма; рационализм был не в моде [506]. Подобный эмпиризм привязывает научную методологию к экспериментальным методам и теоретическим приемам рассуждений, принятым в отдельных естественных науках; объективная истина становится принципиально зависимой от способов ее добывания (такой подход в теории познания называется операционализмом). Синергетика естественнонаучную теорию нелинейных динамик, названную И. Р. Пригожиным неравновесной термодинамикой, экстраполирует на всю науку и культуру. В строго научном плане подобные «поползновения» вряд ли правомерны. Истории человечества известны такие попытки - это и различные богословские учения, и, скажем, атомизм, механицизм или дарвинизм. С другой стороны, социокультурная философия и постмодернизм стремятся перенести гуманитарные закономерности на сферу естествознания, на точные науки. Только математика как универсальная и беспристрастная наука способна служить общей, адекватной и точной научной основой описания Мира.