II.Основы теории делимости

 

Элементарную теорию чисел следует считать наилучшим предметом для первоначального математического образования.

Годфри Харди

Введение

Работа представляет собой очерк основных понятий и фактов теории делимости. Делимость - фундаментальное понятие алгебры и теории чисел. Особенно важную роль делимость играет в числовых кольцах. Числовым кольцом называется множество комплексных чисел, содержащее единицу 1 и замкнутое относительно арифметических операций сложения, вычитания и умножения. Если числовое кольцо является полем, т. е. каждый его элемент делится на каждый ненулевой элемент, то в нем теория делимости тривиальна.

Числовые кольца редко бывают факториальными (гауссовыми), т. е. кольцами, в которых выполняется основная теорема арифметики [1, 4, 8, 11-13]. По идее немецкого математика Э. Куммера, в ряде случаев единственность разложения на неприводимые множители удается восстановить за счет добавления идеальных чисел (дивизоров); для таких колец существует теория дивизоров. К ним относятся дедекиндовы кольца, названные так по имени другого немецкого математика Р. Дедекинда, определившего понятие идеала кольца и развившего теорию дивизоров числовых колец на основе теории идеалов (вторая половина XIX века). В качестве идеальных чисел у Дедекинда выступали неглавные идеалы кольца. См. [1, 2, 11].

В первой половине XIX века в трудах К. Гаусса [5] была создана теория сравнений, развивающая и обогащающая понятие делимости [1, 8, 11, 13].

Отношение делимости в кольцах определяется мультипликативно, через одну операцию умножения. Однако многие свойства делимости в кольцах выражаются с привлечением и операции сложения и возможности сравнивать элементы кольца по величине (абсолютная величина целого числа, степень многочлена, норма комплексного числа).

В самом общем и чистом виде делимость можно изучать в группоидах. Наиболее приспособленными для этого являются целые полугруппы [3, 7, 9, Приложение III].

1. Делимость целых чисел

Впервые свойства делимости изучались в кольце Z целых рациональных чисел (для натуральных чисел). Напомним основополагающие факты о делимости целых чисел.

Теорема о делении с остатком. Для любого целого числа a и любого ненулевого целого числа b существуют однозначно определенные целые числа q и r, такие, что a = bq + r и 0 < r < Ibl.

При этом a делится (нацело) на b, т. е. a = bq для некоторого целого числа q, тогда и только тогда, когда остаток r от деления a на b равен 0; говорят также, что a кратно b, b - делитель a или b делит a (b | a).

Проиллюстрируем эту теорему на числах a и b с |a| = 23 и |b| = 7. Имеем следующие случаи:

1)  23 = 7-3 + 2,

2)  -23 = 7-(-4) + 5,

3)  23 = (-7)(-3) + 2,

4)  -23 = (-7)(-4) + 5.

Случаи 3) и 4) получаются из 1)

и 2) соответственно. Для наглядности возьмем окружность длины 7 и разделим ее на 7 равных частей. Точки деления обозначим по часовой стрелке числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 - это всевозможные остатки при делении на 7. Затем берем отрезок длины 23, закрепляем один его конец в точке окружности с риской 0 и наматываем этот отрезок на окружность по часовой стрелке. Тогда другой конец отрезка укажет число 2 - остаток, а число 3 полных оборотов есть неполное частное от деления 23 на 7 (случай 1)). При делении - 23 на 7 наматываем отрезок против часовой стрелки - в результате получаем случай 2).

Элементарные свойства отношения делимости приведены в § 2.

На возможности деления с остатком базируется алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых
чисел. Именно, пусть даны целые числа а и b Ф 0. Будем выполнять последовательно деления с остатком:

a = bq1 + r1, 0 < r1 < |b| b = rq + r2, 0 < r2 < Г1 Г1 = r2q3 + Г3, 0 < Г3 < Г2

rn-2 = rn-1qn + rn, 0 < rn < rn-1 rn-1 = rnqn+1.

Поскольку натуральные остатки строго убывают, то через конечное число делений (на n-м шаге, n < |b|) мы получим последний ненулевой остаток rn; в случае r1 = 0 имеем НОД(а, b) = |b|. С помощью этой схемы легко доказывается

Теорема об НОД. НОД(а, b) = rn.

Замечание 1. НОД целых чисел а и b можно определить двумя способами. Как наибольший по величине общий делитель этих чисел (тогда НОД не существует только для а = b = 0). Или как общий делитель чисел a и b, делящийся на любой их общий делитель (при этом НОД определен с точностью до знака и НОД(0, 0) = 0). Второе определение более общее, поскольку его можно дать для элементов произвольного группоида. Схема алгоритма Евклида показывает: если рассматривать только натуральные делители, то для любых двух целых чисел, одновременно не равных 0, оба определения НОД равносильны (дают один и тот же результат). Вопросы читателю. Верно ли это утверждение для любого непустого (возможно, бесконечного) семейства целых чисел? Как обстоит дело с наименьшим общим кратным (НОК) целых чисел?

Линейное представление НОД. НОД(а, b) = au + bv для подходящих целых чисел u, v. Причем, если числа а и b не делятся друг на друга, то числа u, v можно выбрать единственным образом так, чтобы jui < jb/di, fv/ < fa/d/ при d = НОД(а, b).

Линейное представление НОД(а, b) = rn можно получить из схемы алгоритма Евклида, двигаясь по ней снизу вверх. Другой подход дает

следующее утверждение: наименьшее натуральное число вида ах + by,

2 2

схема алгоритма Евклида

х, y eZ, является НОД(а, b) (при а + b Ф0).

В качестве иллюстрации применим алгоритм Евклида к числам a = 120 и b = - 33: 120 = (-3)(-33) + 21, - 33 = 21-(-2) + 9, 21 = 9-2 + 3, 9 = 3-3. Значит, Н0Д(120, - 33) = 3. Для нахождения линейного представления НОД будем последовательно выражать 3, начиная с предпоследнего равенства:

3 = 21 + (-2)-9 = 21 + (-2)-(-33 + 2-21) = (-2)(-33) + (-3)-21 = = (-2)(-33) + (-3)(120 + 3-(-33)) = 120-(-3) + (-33)(-11).

Рассмотрим теперь наглядную интерпретацию НОД и НОК двух натуральных чисел a < b. Возьмем правильные a-угольник и b-угольник, которые можно вписать в окружность единичного радиуса. Расположим их рядом на горизонтальной прямой (a-угольник левее) так, чтобы они касались друг друга вершинами А и B соответственно. Из этого положения начнем вращать многоугольники вокруг их центров: a-угольник - по часовой стрелке, b-угольник - против часовой стрелки. Сначала совершим один полный оборот, вращая многоугольники с одинаковой по величине угловой скоростью. При этом число касаний многоугольников, не считая исходного, равно НОД (a, b). Далее будем вращать многоугольники таким образом, чтобы они последовательно касались соседними вершинами (скорость вращения a-угольника в b/a раз больше скорости вращения b-угольника).

D

С

Вращение завершим, как только вершины А и B вернутся в первоначальное положение. Если при этом a-угольник совершил m полных оборотов, а b-угольник - п оборотов, то общее число am = bn касаний вершин равно НОК^, b). Заметим также, что a/n = b/m = НОД^, b).

На рисунке показаны правильные шестиугольник и восьмиугольник. При их вращении на 360° с равными скоростями многоугольники коснутся дважды - вершинами C и D, A и B. Если же вращать шестиугольник в 8/6 = 4/3 раза быстрее восьмиугольника, то вершины A и B снова совпадут при 24-м касании многоугольников, шестиугольник сделает 4 полных оборота, а восьмиугольник - 3 полных оборота.

Критерий взаимной простоты. Целые числа a и b взаимно просты тогда и только тогда, когда au + bv = 1 для некоторых целых чисел u, v.

Этот критерий позволяет легко доказать основные свойства взаимно простых чисел (т. е. чисел, НОД которых 1). Отметим два из них:

1)  если произведение целых чисел a и b делится на целое число d, взаимно простое с a, то b делится на d;

2)  целое число, делящееся на каждое из двух взаимно простых между собой чисел, делится и на их произведение.

С помощью 1) выводится:

Формула для НОК. НОД(a, b)-НОК(a, b) = ab. Значит, если числа a и b не равны 0 одновременно, то НОК(a, b) = ab/НОД(a, b).

Так, НОК(120, - 33) = 120-(-33)/3 = - 1320 или 1320.

Далее определяются простые (имеют ровно 2 натуральных делителя) и составные числа. Все целые числа разбиваются на 4 класса: простые числа и противоположные им; составные и противоположные им; 1 и - 1; 0.

Существование простых делителей. Наименьший отличный от 1 натуральный делитель p целого числа a, iai>1, является простым числом. Причем, если iai ^p, то p <iai

Этот результат позволяет автоматически составить список всех простых чисел, не превосходящих данного натурального числа (решето Эратосфена).

Характеризации (критерии) простого числа. Для любого натурального числа p #1 эквивалентны следующие свойства:

(1)
p - простое;

(2)
если произведение двух целых чисел делится на p, то хотя бы одно из них делится на p;

(3)
каждое целое число либо делится на p, либо взаимно просто с

ним;

(4)
кольцо Zp классов вычетов по модулю p является полем;

(5)  число (p-1)! + 1 делится на p (критерий Вильсона).

Теорема Евклида. Простых чисел бесконечно много. Имеем ряд простых чисел p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, p6 = 13, p7 = 17, p8 = 19, p9 = 23, p10 = 29,. . Возьмем первые n простых чисел и рассмотрим число a = p1-p2-.-pn + 1. Существует наименьший простой делитель p числа a, он не равен ни одному из первых п простых чисел. Например, при п = 1 имеем p = a = 3, при п = 2 имеем p = a = 2-3 + 1 = 7, при п = 3 имеем p = a = 2-3-5 + 1 = 31 = p11, при п = 4 снова имеем простое число a = 211. А когда появляется первое составное число a?

Характеризация (2) позволяет доказать единственность в следующей теореме, известной еще древним грекам.

Основная теорема арифметики. Всякое натуральное число a^1 разлагается в произведение a = p1-p2-.-pn простых чисел, причем однозначно с точностью до порядка сомножителей pi (это верно и для отрицательных целых чисел, отличных от - 1, только надо взять множитель - 1).

Пусть p - фиксированное простое число и a - произвольное

ненулевое целое число. Неотрицательное целое число k = 0p(a)

k

называется p-показателем числа a, если a делится на p , но не делится

k+1 k

на p , т. е. a = p q для некоторого целого числа q, не кратного p. Положим также 0p(0) = В результате получаем функцию 0p: Z ^ Nu{0, обладающую свойствами:

0p(ab) = 0p(a) + 0p(b) и 0p(a + b) > min(0p(a), 0p(b)) для всех целых чисел a, b. Основная теорема арифметики принимает вид

a = П p°p(a) для любого натурального a.

p - простое

Зная канонические разложения натуральных чисел a и b на простые множители, легко найти канонические разложения их НОД и НОК:

НОД (a, b) = П p min(Op(a),°p(b)) и НОК^, b) = П p max(Op(a),°p(b)).

p-простое                                                                           p-простое

Например, для a = 5500 и b = 3300 имеем разложения

a = 22-30-53-70-111-130-... = 22-53-11 и b = 22-3-52 11, откуда 02(a) = 2, 05(a) = 3, 011(a) = 1 и 0p(a) = 0 при других простых p, Н0Д(5500, 3300) = 22-52-11 = 1100 и Н0К(5500, 3300) = 22-3-53 11 = 16500.

Замечание 2. Множество N натуральных чисел с отношением «делит» является упорядоченным множеством с наименьшим элементом 1. Более того, < N, |) есть полная снизу атомная дистрибутивная решетка с условием минимальности (см. [3]). Атомами в ней служат

простые числа. Добавив 0 к N, получим полную атомную дистрибутивную решетку < N0, |) с наибольшим элементом 0, 4 " 6 не содержащую коатомов. В No только числа 1 и 0 обладают дополнениями.

Для любых элементов a, b

решетки N0 inf(a, b) = НОД^, b)

и sup(a, b) = НОК^, b).

Утверждение. Если для взаимно простых натуральных чисел a, b и натуральных чисел с, п верно равенство ab =
сп, то a = dn для некоторого натурального d.

Это утверждение вытекает из основной теоремы арифметики. Оно не обязано выполняться в подполугруппах мультипликативной полугруппы N всех натуральных чисел. Например, в полугруппе N{2} 4-9 = 36 = 6 и НОД(4, 9) = 1, но 4 не является квадратом никакого элемента полугруппы.

Аналогичная элементарная классическая теория делимости имеет место в некоторых других числовых кольцах и в кольце Р[х] многочленов от одного неизвестного х с коэффициентом из произвольного поля P; это евклидовы кольца [13].

,3 /

1

К основам делимости принадлежит и отношение сравнимости целых чисел по данному модулю. Целые числа a и b называются

сравнимыми по модулю натурального числа n (a = b(mod n)), если a-b делится на n. Принципиальным является тот факт, что сравнение a = b(mod n) эквивалентно равенству a = b в кольце Zn классов вычетов по модулю n. Отношение сравнимости по модулю n обладает рядом важных свойств, применяемых, в частности, при установлении признаков делимости на n. Можно назвать также малую теорему Ферма, сравнения Эйлера и Вильсона, китайскую теорему об остатках, квадратичный закон взаимности, решение диофантовых уравнений, теорию p-адических чисел.

2. Делимость в целостных кольцах

Начнем с определений. Целостным кольцом (или областью целостности) называется любое коммутативное кольцо с 1 Ф 0 без делителей нуля (ab=0 влечет a=0 или b=0).

Пусть далее R - целостное кольцо. Непустое подмножество I в R называется идеалом кольца R, если a + b el и ar el для любых a, b el и r eR. Идеал l Ф R называется собственным (эквивалентно, 1 £l). Собственный идеал l в R называется простым, если ab el влечет a el или b el для всех a, b eR. Идеал aR = {ar: r eR} называется главным идеалом, порожденным элементом aeR. Если каждый идеал в R является главным, то R называется кольцом главных идеалов. Элемент aeR называется обратимым, если ab = 1 для некоторого b eR, называемого обратным к a и обозначаемого a"1. Обратимые элементы кольца R относительно умножения образуют группу - мультипликативную группу кольца R.

Пусть a, b eR. Элемент b называется делителем элемента a в R, если существует такой элемент c eR, что a = bc; в обозначениях, bla. Итак,

bla означает 3 c eR a = bc.                 (1)

Говорят также, что a делится на b или a кратно b. Элемент c называется частным от деления a на b. В результате на кольце R получаем бинарное отношение «делит» I, обладающее следующими свойствами (для любых a, b, d, r, s eR):

1.  ala (рефлексивность).

2.  dlb, bla ^ dla (транзитивность).

3.  0
- единственный элемент в R, делящийся на любой его элемент.

4.  Обратимые элементы - это в точности делители всех элементов

из R.

5.  Ыа ^ brlar (при гФ0 верно и обратное) и blar.

6.  Если в формуле (1) Ьф0, то частное c определено однозначно (выполняются обычные свойства частных c = а/b).

7.  аlb, bla ^ а = bu для некоторого обратимого элемента u eR; такие элементы а и b называются ассоциированными (а ~ b).

8.  bla ^aR abR, откуда а ~ b ^aR = bR.

9.  dla, dlb ^ dl(ar + bs).

10.  aR + bR = dR ^d есть НОД(а, b), т. е. d делит элементы а и b и делится на любой их общий делитель.

11.  aR n bR = kR ^к = НОК(а, b), т. е. к делится на а и b и делит любое их общее кратное.

Здесь aR + bR = {ar + bs: r, s eR}. Если для любых a, beR идеал aR + bR является главным, то кольцо R называется кольцом Безу. Кольца Безу - это такие кольца, в которых любые два элемента а и b имеют НОД, представимый в виде ar + bs (в них верна теорема о линейном представлении НОД). Кольцо R называется нетеровым, если каждый его идеал конечно порожден. Кольца главных идеалов - это в точности нетеровы кольца Безу.

С отношением делимости на кольце тесно связано отношение сравнимости по модулю идеала. Пусть в кольце R выделен идеал I. Элементы а и b кольца R называются сравнимыми по модулю идеала I, если а - b el. Тем самым, на R возникает отношение сравнимости, обобщающее сравнимость целых чисел по модулю n и являющееся конгруэнцией на кольце R.

3. Евклидовы кольца

Целостное кольцо R называется евклидовым, если существует такая функция ф: R{0}—> Nu{0}, что для любых а и b Ф 0 из R найдутся q, r eR, для которых

а = bq + r, r = 0 или ф(г) < ф(Ь). (2) Примеры

1.  Кольцо Z с ф = l l.

2.  Кольцо P[x], P - поле, с ф = deg (deg f - степень ненулевого многочлена feP[x]).

3. Кольцо Z[i] целых гауссовых чисел а = a + bi (a, beZ). Здесь

22

у

b+1

b

a+1

0

х

a

ф(а) = п(а) = a + b - норма комплексного числа а. В кольцах многочленов Р[х] для любых a и b^0 (неполное) частное q и остаток r (см. (2)) находятся однозначно. Заметим, что в классе целостных колец это единственные кольца с однозначным делением с остатком. В кольце Z в качестве r можно взять и число r - IbI < 0. В кольце Z[i] пары (q, r) могут принимать от 1 до 4 значений. Возьмем а и /3^0 в Z[i] и рассмотрим их частное а/fieQ[i]. Число а]в попадает в некоторый единичный квадрат (возможно, на его границу) координатной плоскости с целочисленными вершинами (а, b), (a, b+1), (a+1, b+1) и (a+1, b), где a, beZ. Расстояние I аа в - ql = ^п(а/ в - q) от этого числа хотя бы до одного из чисел

л/2

q = х + yi (х = a или а + 1, y = b или b + 1) не превосходит —< 1.

2

Обозначим r = а - eqeZ[i]. Учитывая свойство мультипликативности нормы  комплексных                                чисел,                                  получаем

n(r) = п(( а1 в - q )в) = п(а1 в - q )п(в) < п(в). Это и означает евклидовость кольца целых гауссовых чисел. Если а/в оказывается в

1 1

центре квадрата, т. е. а!в = (a+—) + (b+—)i, то в качестве q можно

2 2

взять любое из четырех указанных чисел.

4. Пример кольца главных идеалов, не являющегося евклидовым.

a +

Таково числовое кольцо {

bV-19

: a, b - целые числа одинаковой

2

четности} [10].

Теорема 1. Любое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.

Доказательство имеется в [4, 8, 9, 11].

4. Факториальные кольца

Пусть p - ненулевой необратимый элемент целостного кольца R. Элемент p называется простым, если plab влечет pla или plb для любых a, beR. Легко видеть, что простота элемента p равносильна простоте идеала pR кольца R. Элемент p называется неприводимым, если его делителями являются лишь обратимые элементы и ассоциированные с p элементы (p=ab влечет обратимость a или b). Простые элементы неприводимы; обратное верно далеко не всегда.

Целостное кольцо R называется факториальным, если любой его ненулевой необратимый элемент a разлагается в произведение неприводимых элементов из R, причем однозначно с точностью до ассоциированности и порядка сомножителей. Для элемента a можно

ki k2 k„

записать каноническое разложение a = up^ - p^ -... - pnn, где u -

обратимый элемент, p1, p2, ..., pn - попарно не ассоциированные неприводимые элементы, k1, k2, ...., kn eN.

Замечание 3. Мультипликативно факториальные кольца очень похожи на кольцо обычных целых чисел. Отношение ассоциированности ~ является конгруэнцией на мультипликативной полугруппе R* всех ненулевых элементов целостного кольца R, а соответствующая фактор-полугруппа будет целой полугруппой. Если кольцо R факториально, то фактор-полугруппа R*/~ является гауссовой целой полугруппой (см. [3, 9]). В факториальных кольцах НОД и НОК нескольких элементов находятся стандартно по их каноническим разложениям, а все неприводимые элементы являются простыми.

Теорема 2. Каждое кольцо главных идеалов факториально.

Теорема 3. Кольцо многочленов от одного или нескольких неизвестных над факториальным кольцом факториально.

Доказательства теорем 2 и 3 можно найти в учебниках [8, 9]. Из теорем 1 и 2 следует факториальность евклидовых колец.

Теорема 4. Для любого целостного кольца R эквивалентны следующие условия:

1) 
любые два элемента в R имеют НОД;

2) 
любые два элемента кольца R обладают НОК.

Эта теорема вытекает из справедливости аналогичного утверждения для целых полугрупп и замечания 3.

Пример 5. Кольцо многочленов Z[x] факториально. Его идеал 2Z[x] + xZ[x], состоящий из всех целочисленных многочленов с четным свободным членом, не является главным. Получили факториальное кольцо, не являющееся кольцом Безу.

Пример 6. Кольцо всех аналитических функций на комплексной плоскости является кольцом Безу, но не факториально.

Пример 7. Рассмотрим кольцо                   3] = {a + bV3i: a, beZ).

Норма элемента a= a + i равна n(a) = a2 + 3b2. Норма обратимых элементов равна 1, что возможно только при a = 1 или - 1 и b = 0. Значит, 1 и - 1 - единственные обратимые элементы кольца Z[V-3 ]. Поэтому в Z[V-3] ассоциированность элементов а и в означает, что а= в или а= - в. Возьмем разложения 4 = 2-2 = (1 + V3i)(1 - V3i). Элементы 2, 1 + V3 i и 1 - V3 i неприводимы в

не ассоциированы друг с другом и не являются простыми элементами. Следовательно, кольцо

3 ] не факториально и, стало быть, не евклидово, но в нем каждый ненулевой необратимый элемент разлагается в произведение конечного числа неприводимых элементов. Именно эту систему чисел использовал Л. Эйлер в 1768 году при своем оригинальном, но не совсем корректном доказательстве Великой теоремы Ферма (для любого целого n > 2 уравнение xn + yn = zn неразрешимо в натуральных числах) для показателя n = 3, предвосхитив тем самым создание теории алгебраических чисел (см. [11, 14]).

Расширенное числовое кольцо R = { a + b; a и b - целые числа

2

bS+S

O

a

a+1

x

одинаковой четности) оказывается евклидовым. Действительно, возьмем в R любые числа а и

вФ 0. Число ^в (как и в

примере 3) находится в каком - то прямоугольнике с вершинами        (a,

(a, bV3+V3), (a+1, bV3+V3)

, e З                                           (2a +1) + (2b + 1)V3i

и (a+1, bv3), где a, b eZ. Заметим, что центр ------------------------------------- eR

2

этого прямоугольника является единственной его точкой, находящейся от каждой из четырех вершин на расстоянии ровно 1. Расстояние от

точки ^^ до одной из пяти указанных точек <1 (точнее,

Доказательство евклидовости R завершается так же, как в примере 3. Поэтому кольцо R факториально. И разложения 4=2-2 и 4=(1+л/3/)(1 - л/Эг) в R на простые элементы совпадают с точностью до ассоциированности. В самом деле, кроме чисел 1 и - 1 единичную норму

„                                                          1 + V3i 1 - 4bi - 1 + V3i - 1 - л/3'

в R имеют еще четыре числа------------ , ---------- , ------------  и------------- . Они

2 2 2 2

составляют множество всех обратимых элементов кольца R. Поскольку

2 =               )(1+V3 i) = (i^ )(1 - Л'),

2 2

то числа 2, 1+V3 i и 1^л/3 i попарно ассоциированы в R.

Замечание 4. Для доказательства неразрешимости уравнения

3 3 3

х + y = z (теорема Ферма для показателя 3) в натуральных числах

Эйлер использовал равенство a2+ 3b2 = (а + bV3 i)(a - bV3 i) с целыми

22

числами а и b. Эйлер считал, что если число а + 3b есть куб натурального числа, то и сомножители должны быть кубами чисел из

Z[V-3 ], т. е. он применил к кольцу Z[V-3 ] аналог утверждения § 1, являющегося следствием факториальности кольца Z. Но кольцо 3 ] не факториально. Для восстановления однозначности разложения (и спасения доказательства Эйлера) к кольцу Z[V-3 ] надо

а + W3i                                                                        „

присоединить числа вида-------------- с нечетными a, b eZ, т. е. перейти к

2

факториальному кольцу R из примера 7. Подробности см. в [11].

5. Кольца целых алгебраических чисел

Любое числовое поле содержит поле Q рациональных чисел и является векторным пространством над Q.

Пусть P - произвольное числовое поле, имеющее конечный базис как векторное пространство над Q. Каждый элемент из P является

алгебраическим числом, т. е. служит корнем некоторого ненулевого многочлена с целыми рациональными коэффициентами. Комплексное число, являющееся корнем многочлена из Z[x] со старшим коэффициентом 1, называется целым алгебраическим числом. Множество R всех целых алгебраических чисел, содержащихся в P, образует подкольцо поля P и называется кольцом целых алгебраических чисел (поля P). Например, Z есть кольцо целых алгебраических чисел поля Q, а кольцо R из примера 7 является таковым для поля

Q(V-3) = {p + qV3 i: p, qeQ}.

Произведением идеалов А и В коммутативного кольца R называется множество АВ всевозможных конечных сумм элементов вида ab, где aeA и beB. Произведение АВ также является идеалом в R. Аналогично определяется произведение нескольких идеалов. Целостное кольцо называется дедекиндовым, если любой его ненулевой собственный идеал I является произведением конечного семейства простых идеалов; можно показать, что это семейство простых идеалов определяется идеалом I однозначно с точностью до порядка сомножителей. См. [9]. Всякое кольцо R главных идеалов дедекиндово: если a = p1p2-.-pn - разложение на простые множители в R, то aR = (p1R)(p2R)-.-(pnR) - произведение простых идеалов. Характеризация дедекиндовых колец имеется в [9]. Более широкий класс колец образуют (целостные) кольца, допускающие теорию дивизоров (см. [2, 11]). Этому классу принадлежат, в частности, факториальные кольца. Кольцо с теорией дивизоров тогда и только тогда факториально, когда все дивизоры главные.

Теорема 5. Кольца целых алгебраических чисел дедекиндовы.

По поводу доказательства см. [1, 2, 9 или 11].

Пример 8. Кольцо R целых алгебраических чисел поля Q(V-5), равное Z[V-5 ] = {a + bV5 i: a, beZ}, дедекиндово по теореме 5, но не факториально. Имеются существенно различные разложения числа 6 на

неприводимые множители: 6 = 2-3 = (1 + 45 i)(1 - S i). Обратимыми в R являются только 1 и - 1. Если перейти к идеалам кольца R, то получим 2R = PP, 3R = QQ2, (1 + S i)R = PQ1 и (1 - S i)R = PQ2 для простых идеалов P = 2R + (1 + V5 i)R, Q1 = 3R + (1 + 45 i)R и Q2 = 3R + (1 - V5 i)R. Простые идеалы (дивизоры) P, Q1 и Q2 кольца R, играющие роль

«идеальных чисел», восстанавливают однозначность разложения элемента 6, отождествляемого с главным идеалом 6R, на неприводимые (простые) множители. См. [4].

Пример 9. Пусть а - трасцендентное число, т. е. комплексное число, не являющееся корнем никакого ненулевого целочисленного многочлена (например, e или п). Образуем числовое кольцо Z[oc, порожденное а. Его элементами служат всевозможные многочлены от а с целыми коэффициентами. Поэтому кольцо Z^] изоморфно кольцу Z[x]. Оно факториально, но не является дедекиндовым.

Литература

1.  Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1987.

2.  Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

3.  Вечтомов Е.М. Элементарная делимость в целых полугруппах// Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. 2000. Вып. 2. - С. 10-24.

4.  Винберг Э.Б. Курс алгебры. - М.: Факториал, 1999.

5.  Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел / Под ред. И.М. Виноградова. - М.: Изд-во АН СССР, 1959.

6.  Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. - М.: Наука, 1973.

7.  Кон П. Свободные кольца и их связи. - М.: Мир, 1975.

8.  Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высш. шк., 1979.

9.  Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. - М.: Наука, 1973.

10.  Лемлейн В.Г. О евклидовых кольцах и кольцах главных идеалов/ Доклады АН СССР. 1954. Т. 97. № 4. - С. 585-587.

11.  Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. - М.: Наука, 1982.

12.  Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. - М.: Наука, 1966.

13.  Родосский К. А. Алгоритм Евклида. - М.: Наука, 1988.

14.  Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. - М.: Мир, 1980.

III.
Абстрактная делимость

Эврика!

Архимед

Введение

Понятие делимости (натуральных чисел, целых гауссовых чисел, многочленов) - одно из важнейших понятий арифметики, теории чисел и алгебры. В педвузах и в госуниверситетах студенты математических специальностей изучают делимость целых рациональных чисел и делимость многочленов над произвольным полем. Это во многом параллельные теории, являющиеся, по сути дела, теорией делимости в евклидовых кольцах (см. [9], [12]-[14]). В евклидовых кольцах имеет место теорема о делении с остатком и основанный на ней алгоритм Евклида нахождения НОД двух элементов (известные еще в IV веке до Р. Х.). Отсюда выводится основная теорема арифметики - теорема об однозначном разложении элементов на неприводимые множители. Целостные кольца, в которых справедлива основная теорема арифметики, называются факториальными, или гауссовыми (однозначность разложения впервые доказал Карл Гаусс в 1801 году). Между классом евклидовых колец и классом факториальных колец строго лежит класс колец главных идеалов.

Интересно сравнить нюансы делимости в кольцах из этих трех классов колец. В любом факториальном кольце НОД и НОК нескольких элементов определяются их разложениями на неприводимые

_                   W                 W              ТЛ

множители, т. е. чисто мультипликативной структурой кольца. В то же время в кольцах главных идеалов имеет место линейное представление НОД, что не обязано выполняться в произвольном факториальном кольце. В линейном представлении НОД наряду с операцией умножения фигурирует и сложение. В евклидовых же кольцах при делении с остатком используются обе кольцевые операции, а также евклидова норма элементов. В результате такого движения ситуация, обогащаясь, теряет как в общности, так и в «чистоте замысла», поскольку отношение делимости элементов определяется только через умножение. В этом очерке исследуется отношение делимости в наиболее общем и чистом виде. На наш взгляд, естественной математической средой для этого служит класс целых полугрупп - такой подход мы начали рассматривать в статье [4], следуя книгам [9] и [12], а затем в [5, 6]. Разумеется, существуют и другие общие теории делимости. Например, изучается делимость в упорядоченных группоидах (см. [14]), но в них кроме умножения независимо постулируется и отношение порядка. Изучается также делимость в некоммутативных кольцах [9].

Мы придерживаемся следующих методологических положений:

1)  отношение делимости - полугрупповое понятие;

2)  свойства делимости целесообразно и методически полезно анализировать именно в целых полугруппах, являющихся достаточно простыми алгебраическими объектами;

3)  на примере целых полугрупп можно хорошо иллюстрировать такие важные вещи, как изоморфизм и задание алгебраического объекта образующими и определяющими соотношениями.

1. Определения

Начнем с определения исходного понятия целой полугруппы. Сначала напомним, что полугруппа - это ассоциативный группоид, а группоидом называется непустое множество с заданной на нем одной бинарной операцией. Будем пользоваться мультипликативными обозначениями.

Целой полугруппой (называемой еще конической) называется группоид А, удовлетворяющий следующим условиям:

1)  ассоциативность: (ab)c = a(bc) для всех a, b, ceА;

2)  коммутативность: ab = ba для любых а, ЬеА;

3)  существование единичного элемента 1^: а-1 = 1-а = а для каждого а из А;

4)  сократимость: ac = bc ^ а = b при любых a, b, ceА;

5)  отсутствие в А обратимых элементов, отличных от 1, т. е. имеет место квазитождество ab = 1 ^ а = 1.

Дадим определение делимости элементов в произвольном группоиде А.

Элемент be А называется делителем элемента ae А, если найдется такой элемент ceА, что а = bc. Синонимы: b делит а - в обозначениях «bla»; а делится на b - в обозначениях «a:b»; а - кратное b или а кратно b.

В результате на любом группоиде А возникает бинарное отношение делимости l:

bla означает (ЗсеА) a = bc.

На самом деле это отношение левой делимости; аналогично определяется делимость справа.

Что мы хотим от группоида А, чтобы отношение «делит» | обладало естественными, в том числе порядковыми, свойствами, позволяющими создать стройную элементарную теорию делимости, похожую на делимость натуральных чисел?

Во-первых, мы не хотим путаницы от наличия двух делимостей - левой и правой. А это обеспечивается условием коммутативности данного группоида. Во-вторых, хотелось бы, чтобы отношение l было транзитивным. Что, в свою очередь, вытекает из ассоциативности операции в А. В-третьих, существование единицы 1 в группоиде А обеспечивает рефлексивность отношения делимости, а также делимость на 1 всех элементов в А. Далее, требование единственности частного c при делении произвольных элементов в А равносильно условию сократимости. Наконец, при выполнении всех предыдущих условий условие 5) эквивалентно антисимметричности отношения l.

Выскажем еще одно соображение в пользу условия 5). Пусть группоид А удовлетворяет условиям 1)-4). Элементы a, beA называются ассоциированными - в обозначениях «a~b», если они делят друг друга: bla и alb. Ассоциированные элементы ведут себя совершенно одинаково относительно делимости - они делят одни и те же элементы и делятся на одни и те же элементы полугруппы А. В частности, ассоциированные с 1 элементы - это в точности обратимые элементы из А; они служат делителями каждого элемента полугруппы А. Отношение ассоциированности является конгруэнцией на полугруппе А. Соответствующая факторполугруппа А/~ будет уже целой полугруппой - «скелетом делимости» полугруппы А.

Подчеркнем, что мы акцентируем внимание на самом отношении делимости, хотя в современной теории чисел важное место занимает изучение групп обратимых элементов полугрупп со свойствами 2)-4), теория идеалов и теория дивизоров колец алгебраических чисел [2].

Далее всюду
А - целая полугруппа.

Система < А, l) является упорядоченным множеством с наименьшим элементом 1. Если bla, то обозначим через a/b частное от деления a на b; имеем b(a/b) = a.

Элемент а #1 из А называется:

неприводимым, если a=bc ^ (a=b или a=c);

простым, если a l bc ^ (a l b или a l c);

разложимым, если а является произведением нескольких неприводимых элементов из А;

однозначно разложимым, если а разложим и любые два его разложения на неприводимые множители совпадают с точностью до порядка следования сомножителей.

Неприводимые элементы можно также определить как элементы, имеющие ровно по два делителя, или как атомы упорядоченного множества < А, l). Неприводимые элементы однозначно разложимы, а простые элементы неприводимы.

Полугруппа А называется:

разложимой, если каждый ее неединичный элемент разложим;

гауссовой, если любой ее неединичный элемент однозначно разложим.

Гауссовы полугруппы - это целые полугруппы, удовлетворяющие основной теореме арифметики. Заметим, что в [11] не требуется соблюдения условия 5). Важный класс разложимых полугрупп образуют подполугруппы с 1 гауссовой полугруппы N всех натуральных чисел по умножению.

Наибольшим общим делителем - сокращенно НОД - конечного семейства элементов a1,a2,...,an e A называется элемент из А, обозначаемый (a1,a^,..,an), который делит все эти элементы (т. е. является их общим делителем) и делится на любой их общий делитель. Двойственным образом определяется наименьшее общее кратное - НОК - элементов a1, a2,..., an, которое обозначается [ a1, a2,..., an ].

Ясно, что (a1, a2,..., an) = inf(a1, a^,.., an) и [ a1, a^,.., an ] = = sup(a1,a2,...,an) в упорядоченном множестве <А, l). Каждое из равенств понимается так, что если существует одна из частей равенства, то существует и другая часть, причем она равна первой. Такие равенства будем называть условными.

Полугруппа А называется арифметической, если любые два ее элемента имеют НОД.

Гауссовы полугруппы суть арифметические, и в них неприводимые элементы - простые.

Завершая параграф, рассмотрим примеры.

Пример 1. Возьмем мультипликативную полугруппу А = N{2). В ней неприводимые элементы совпадают с числами 4, 8, р, 2р, где р - произвольное нечетное простое число. Простых элементов в полугруппе А нет. Элементы 4 и 6 обладают НОД=1, но не имеют НОК, поскольку множество их общих кратных {24, 36, 48, 60, ...) не имеет наименьшего элемента относительно делимости I. Множество общих делителей элементов 12 и 24 в А равно {1, 3, 4) и не имеет наибольшего элемента по отношению «делит», стало быть, не существует (12, 24). Поэтому разложимая полугруппа А не является арифметической, а значит, и гауссовой. Скажем, элемент 36 разлагается на неприводимые множители двумя существенно разными способами: 36= 3-3-4=6-6.

Заметим, что в [1, с. 23] приведена мультипликативная полугруппа всех натуральных чисел вида 4k+1, которая также не является арифметической (почему?). Д. В. Аносов назвал такую ситуацию «пародией на арифметику»; добавим - на классическую арифметику.

Пример 2. Мультипликативная полугруппа А = (0, 1] положительных действительных чисел < 1 является арифметической полугруппой, не имеющей неприводимых элементов. В ней bla ^a< b.

Прямое произведение полугрупп из примеров 1 и 2 не является ни разложимой, ни арифметической полугруппой.

2. Свойства делимости

Перечислим сначала простейшие свойства делимости в

произвольной целой полугруппе А (сравните с Приложением II).

1)  1la.

2)  ala (рефлексивность).

3)  a~b ^a=b (антисимметричность).

4)  alb & blc ^ ale (транзитивность).

5)  alb ^ albe.

6)  alb aclbc.

7)  рФ1 неприводим ^Va ((р,а)=1 илир1а).

8)  Любой простой элемент неприводим.

Свойства НОД и НОК

1.  НОД и НОК нескольких элементов определены однозначно, если существуют.

2.  bla ^(a,b)= b ^[a,b]=a. В частности: (a^)= [a^]=a, (1,а)= 1, [1,а]=a.

3.  (a,b)=(b,а), [ab^b^] (условная коммутативность).

4.  ((a,b), с)=(а, (b,c)), [[a,b], с]=[а, [b,c]] (условная ассоциативность).

5.  Если (a,b) Ф 1, то a и b имеют общий делитель Ф1.

6.  (a,b)=1 & сlа ^ (с,Ь)=1.

7.  Существование (a,b) влечет (а/(a,b), b/(a,b))=1.

8.  Существование [a,b] влечет существование (a,b) и равенство (a,b)-[a,b]=ab.

9.  Существование (ac,bc) влечет существование (a,b) и равенство (ac,bc) = (a,b)с. Аналогично для НОК.

10.  Существование (a,b) и существование (ас/^b), b^(a,b)) для любого с влекут существование [a,b].

Доказательство свойств НОД и НОК

Свойство 1 вытекает из антисимметричности отношения l.

Свойства 2, 3, 5-7 доказываются «по определению».

Свойства 4 и 9 доказаны в [12], с. 84-85.

Остается доказать свойства 8 и 10.

Свойство 8. Пусть [a,b]=k. Тогда k = as = bt и ab = kd для некоторых s, t, d e A. Откуда b = ds и a = dt, т. е. d - общий делитель a и b. Возьмем произвольный общий делитель с элементов a и b. Имеем a = cx и b = cy для подходящих х, y e A. Далее получаем bx = cyx = ay - общее кратное a и b, т. е. bx = ay = kz = asz = btz для некоторого z e A. Поэтому x = tz и y = sz. Значит, dt = a = cx = ctz, стало быть, d = cz и c l d. Следовательно, d = (a,b) и (a,b) • [a,b] = dk = ab.

Свойство 10. Предположим, что выполнено условие свойства 10 и (a, b) = d. Тогда a = ds и b = dt для соответствующих s, t e A. По свойству 7 (s, t) = 1. Элемент к = std = at = bs служит общим кратным а и b. Рассмотрим произвольное общее кратное l элементов а и b: l = ах = by = dsx = d^ для некоторых х, y e A. Тогда sx = ty. По условию существует ^х, tx). По свойству 9 х = (s, t)х = (sx, tx) = (ty, tx) = t(х, y). Откуда l = ах = at(х, y) = к(х, y), т.е. к 11. Значит, к = [a, b].

Предложение 1. Для любой целой полугруппы А эквивалентны следующие условия:

а) существование (a,b) влечет существование (ac,bc) для всех c;

б) (a,b)=1 влечет существование (ac,bc) для каждого c;

в) существование (a,b) влечет существование [a,b];

г) (a,b)=1 влечет существование [a,b];

д) (a,b)=1 &blac ^ blc;

е) (a,b)=1 ^ (a,bc) = (a,c);

ж) (a,b)=1 &alc & blc ^ ablc.

При этом каждое из условий а) - ж) влечет условие

з) (a,b)=1 = (a,c) ^ (а^с)=1.

Доказательство. Эквивалентность условий а)-ж) докажем почти по циклу: а) ^ б) ^ в) ^ г) ^ д) ^ е) ^ ж) ^ д) ^ а).

Импликации а) ^ б) и в) ^ г) очевидны, а б) ^ в) по свойству 10.

г)  ^ д). Пусть (a,b)=1 и blac. По свойству 8 [a,b]=ab. Поскольку ac - общее кратное a и b, то ablac, откуда blc.

д) ^ е). Пусть (a,b)=1. Покажем, что пары элементов a, bc и a, c имеют одни и те же общие делители. Ясно, что любой общий делитель a, c будет и общим делителем a, bc. Обратно, возьмем общий делитель d элементов a, bc. Тогда (d,b)=1 и dlc в силу д).

е) ^ ж). Пусть снова (a,b)=1 и alc, blc. Элемент а служит общим делителем а и b(c/b) = c. По условию е) имеем al(c/b), т. е. c/b = ах для некоторого х^. Но тогда c =
abx и ablc.

ж)  ^ д). Предположим, что (a,b)=1 и blac. Так как а!а^ то по условию ж) ablac, т. е. blc.

д) ^ а). Пусть d = (a, b) и выполнено условие д). Возьмем c e A и покажем, что dc является НОД элементов ас и bc. Очевидно, что dc - общий делитель элементов ас и bc. Рассмотрим произвольный общий делитель l элементов ас и bc: ac = 1х и bc = ly (х, y e A). Тогда acly = bch, откуда ay = Ьх . Далее b l ay и (b / d )l(a / d) y. Так как (a / d, b / d) = 1, то (b / d)l у в силу д). Для некоторого z e A имеем у = (b / d)z, bc = ly = lz(b / d) и cd = lz, т. е. l1 cd . Следовательно, cd = (ac, bc).

Наконец, ж) ^ з). Пусть (a,b)= (a^)=1 и d - общий делитель элементов а и bc. В силу д) dlc. Значит, dl 1, т. е. d = 1. Следовательно, (a,bc) =1.

Предложение 2[12]. Если в целой полугруппе выполнено условие з), то все ее неприводимые элементы являются простыми.

Предложение 3. Любой элемент целой полугруппы, являющийся произведением нескольких простых элементов, однозначно разложим.

Доказательство совершенно аналогично классическому доказательству единственности разложения натуральных чисел на простые множители.

Целая полугруппа А называется полугруппой с условием минимальности, если упорядоченное множество < А, l) удовлетворяет условию минимальности: в А не существует бесконечных убывающих цепочек делителей.

Предложение 4. Всякая полугруппа с условием минимальности является разложимой.

Доказательство подобно стандартному доказательству существования в основной теореме арифметики для натуральных чисел. См. также доказательство леммы Кёнига [15, с. 53].

Пример 3. Пусть А - мультипликативная полугруппа всех

непрерывных неотрицательных функций на единичном отрезке [0,1],

равных 0 в точке 0 и имеющих лишь конечное число нулей, с

присоединенной функцией-константой 1. Любые два элемента f и g

целой полугруппы А, отличные от 1, обладают общим делителем 1/2

(f + g) # 1. Поэтому в А выполняется условие б) предложения 1, следовательно, и остальные условия этого предложения. Однако полугруппа А не является арифметической. Отметим, что элементарная

делимость в мультипликативных полугруппах C (X, R+) всех непрерывных неотрицательных функций, заданных на топологическом пространстве Х, существенно отличается от делимости в целых полугруппах (см. [3], § 1).

3. Арифметические и гауссовы полугруппы

Теорема 1. Всякая арифметическая полугруппа А обладает следующими свойствами:

(1)  любые два элемента в А имеют НОК (это характеристическое свойство арифметических полугрупп в силу свойства 7);

(2)  любой неприводимый элемент в А является простым;

(3)  справедливы утверждения д), е), ж) и з) предложения 1;

(4)  выполняются законы дистрибутивности

(а, [b,e]) = [(a,b), (a, с)] и [а, (b,e)] = ([a,b], [a, с]);

(5)  . (А, l) - дистрибутивная решетка с наименьшим элементом

1.

Следствие. Арифметичность целой полугруппы А равносильна тому, что упорядоченное множество {А, l) является решеткой.

Доказательство теоремы 1. Свойство (1) вытекает из свойства 10. Свойство (2) очевидно в силу предложения 1. Свойство (4) доказано в [4]. Наконец, свойство (5) следует из свойств (1) и (4).

Теорема 2. Для любой целой полугруппы А эквивалентны следующие условия:

10. А - гауссова полугруппа.

20. А - разложимая арифметическая полугруппа.

30. А - разложимая полугруппа, любые два элемента которой имеют НОК.

40. А - разложимая полугруппа, неприводимые элементы которой просты.

50. < А, l) - (дистрибутивная) решетка с условием минимальности.

Доказательство. Ясно, что 10 ^ 20. Импликация 20 ^ 30 вытекает из свойства 7. В силу свойства 8 и предложений 1 и 2 имеет место импликация 30 ^ 40. Из предложения 3 и условия 40 следует, что А гауссова, а в любой гауссовой полугруппе каждый элемент имеет конечное число делителей, связанное с кратностями его простых множителей. Применяя теорему 1, получаем 40 ^ 50. Если верно 50, то следствие теоремы 1, условие (2) теоремы 1 и предложения 4 и 3 дают утверждение 10.

Несколько иными комбинациями свойств характеризуются гауссовы полугруппы в [12].

4. Условия разложимости

Будем считать, что полугруппа А имеет неединичный элемент.

Системой образующих полугруппы А называется ее непустое подмножество P, такое, что любой неединичный элемент из А является произведением нескольких элементов из P (возможно, с повторениями).

Предложение 5. Целая полугруппа А разложима тогда и только тогда, когда она обладает минимальной системой образующих.

Действительно, множество всех неприводимых элементов разложимой полугруппы служит ее минимальной системой образующих. Обратно, если А обладает минимальной системой образующих P, то все элементы из P неприводимы, и А - разложимая полугруппа.

Разложимыми полугруппами являются полугруппы с условием минимальности (предложение 4). Введем еще ряд усилений разложимости.

Разложимая полугруппа А называется:

полугруппой с факторизацией, если длины разложений на неприводимые элементы каждого ее элемента ограничены сверху;

квазигауссовой, если для каждого неединичного элемента из А длины его разложений на неприводимые множители равны.

Целую полугруппу назовем псевдогауссовой, если множество делителей любого ее элемента конечно.

Предложение 6. Всякая полугруппа с факторизацией удовлетворяет условию минимальности.

Очевидно, что как псевдогауссовы, так и квазигауссовы полугруппы являются полугруппами с факторизацией. Ясно также, что гауссовы полугруппы псевдогауссовы и квазигауссовы.

Приведенные классы целых полугрупп (разложимые, с условием минимальности, с факторизацией, псевдогауссовы, квазигауссовы, гауссовы) отличны друг от друга. Чтобы убедиться в этом, построим соответствующие примеры полугрупп, задавая их образующими элементами и определяющими соотношениями.

Пример 4. Пусть полугруппа А имеет счетную систему

2 3

образующих а1, а2,..., ап,..., которые связаны соотношениями a2 = an+1,

где neN. Элементы из А приводятся к следующему каноническому виду:

а™ • а2 •... • аПп (m = 0,1,2,... к = 0,1,2).

Разложимая полугруппа А не удовлетворяет условию

2 2 2 2 минимальности, ибо а1 : а2 :...: ап : ап+1:... .

Пример 5. Рассмотрим целую полугруппу, заданную образующими аь а2,..., ап , ... и определяющими соотношениями

а12 = а2 = ... = аП+1 = ....

Такая полугруппа удовлетворяет условия минимальности, но не является полугруппой с факторизацией. Канонический вид ее элементов таков:

а™ • а2 •...• акп (m = 0,1,2,... к = 0,1,...i).

Пример 6. Возьмем целую полугруппу, образующие

3232

а1, а2,..., ап , ... которой связаны соотношениями а1 = а2 = а3 = а4 =.... Это полугруппа с факторизацией, не являющаяся ни псевдогауссовой, ни квазигаусовой. Канонический вид ее элементов:

а™ • а2к2 • ак3 •... • аПп (к = 0,1 при четном i и кi = 0,1, 2 при нечетном i).

Пример 7. Целая полугруппа с двумя образующими а и b и одним

22

определяющим соотношением a =b - это псевдогауссова и квазигауссова полугруппа, не являющаяся гауссовой. Заметим, что полугруппа из примера 1 псевдогауссова, но не квазигауссова.

Пример 8. Пусть целая полугруппа задается образующими

22

an, п^, и определяющими соотношениями а2 = а1 (п > 2). Получаем квазигауссовую полугруппу, не являющуюся псевдогауссовой. Ее

элементы имеют канонический вид а™ • а2к2 • a3^ •...• а^кп (кi = 0,1).

Сформулируем два результата о псевдогауссовых полугруппах. Предложение 7. Для любой целой полугруппы А эквивалентны следующие утверждения:

1)  А - псевдогауссова полугруппа;

2)  каждый неединичный элемент полугруппы А имеет лишь конечное число разложений на неединичные множители;

3)  А разложима, и каждый ее элемент имеет конечное множество неприводимых делителей;

4) А разложима, и каждый ее неединичный элемент имеет лишь конечное число разложений на неприводимые множители.

Полугруппа называется конечнопорожденной, если она обладает конечной системой образующих.

Теорема 3. Всякая конечнопорожденная целая полугруппа псевдогауссова.

Доказательство. Пусть дана конечнопорожденная целая полугруппа А. Она обладает минимальной системой образующих а1, а2,..., ап. По предложению 5 полугруппа А разложима и {а1, а2,..., ап} - множество всех ее неприводимых элементов. Возьмем в А произвольный неединичный элемент а и рассмотрим его

k k о              к„ / j

«каноническое» разложение a = a^ • a22 •...• ann (kt - неотрицательные

целые числа). Покажем, что множество разложений а на неприводимые множители конечно. Отсюда уже следует псевдогауссовость А.

Предположим от противного, что элемент а имеет счетное множество разложений на неприводимые множители:

(*) a = ak1 • a22 •... • aПп ( kj > 0, ieN).

Найдется такой индекс j (1 < j < n), что показатели kj принимают

сколь угодно большие значения. Перенумеровав образующие, можно считать, что k1 < кц < k21 <... < кц <... в системе (*). Наборы показателей (кг-2,..., kin), ieN, попарно различны. Поэтому существует номер j (2 < j < п), для которого показатели kj не ограничены сверху.

Как и выше, считаем, что в системе (*) k2 < k^ < k^i <... < k-2 <.... Рассуждая далее аналогичным образом, получаем при некотором i равенство (*), в котором kj > kj для всех j = 1,2,..., п, что

ki k2 k„ противоречит равенству a = a^ • a2° •... • ann .

Теорема 4. Любая конечнопорожденная целая полугруппа может быть задана конечным числом определяющих соотношений.

Этот результат вытекает из одной теоремы Диксона [8, теорема

9.18].

5. Изоморфизм

Группоиды А и A' называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение f группоида А на группоид A', что f(ab) = f(a)f(b) для любых a, ЪеА. (Если при этом отображение f не обязательно биективно, то получаем понятие гомоморфности.) Если обозначить f(a) = a то получим (ab)' = a'-b' для всех a, ЪеА. Соответствие а ^ а' показывает, что группоид A служит копией группоида А. Само отображение f называется изоморфизмом А на Л'. Обратное отображение f1: Л ^ А также является изоморфизмом. Композиция (последовательное выполнение) изоморфизмов f: А ^ B и g: B ^ C - снова изоморфизм gоf: А ^ С. Кроме того, для любого группоида существует тождественный изоморфизм. Следовательно, отношение изоморфности = является отношением эквивалентности на классе всевозможных группоидов.

Изоморфизм группоидов сохраняет все их алгебраические свойства, т. е. свойства, выражаемые на языке одной только операции (умножения) в группоидах. Так, группоид, изоморфный полугруппе, будет полугруппой, а изоморфный целой полугруппе сам является целой полугруппой.

Замечание. Рассмотрим аддитивную полугруппу N0 всех неотрицательных целых чисел. Она изоморфна мультипликативной гауссовой полугруппе (а), порожденной одним элементом а Ф 1. В самом деле, биекция f : N0 ^ (а), f(k) = ак, удовлетворяет условию f(m+n) = f(m)-f(n) при любых m, neN0. Хотя операции обозначены по - разному, это не меняет сути дела. Поэтому, как и для полугруппы N0 (теорема 11 из очерка 1), любая подполугруппа в (а) конечно порождена.

Предложение 8. Две гауссовы полугруппы изоморфны тогда и только тогда, когда множества их неприводимых элементов равномощны, т. е. между ними существует биективное соответствие.

Следствие. Гауссовы полугруппы А и B изоморфны в том и только в том случае, когда изоморфны упорядоченные множества < А, l) и < B, l).

Вопрос об изоморфности двух полугрупп решается, в общих чертах, следующим образом. Если полугруппы изоморфны, то, как правило, строится конкретный изоморфизм одной полугруппы на другую. Для доказательства неизоморфности двух полугрупп ищется такое алгебраическое свойство, которое выполняется в одной из данных полугрупп, но не выполняется в другой.

Например, мультипликативная полугруппа всех нечетных натуральных чисел изоморфна N: соответствие 3^2, 5^3, 7^5,..., pn+1^pn,. - естественным образом продолжается до требуемого изоморфизма. Но, скажем, разложимая полугруппа из примера 1 не изоморфна N, так как не является арифметической.

Исследуем на изоморфность еще несколько типов мультипликативных полугрупп натуральных чисел.

I.  Полугруппы N{p} и N{q} изоморфны для любых простых чисел р и q.

II.  Обозначим через nN полугруппу всех натуральных чисел, кратных данному п, с присоединенной 1. Полугруппы mN и nN изоморфны тогда и только тогда, когда m=n.

III.  Для данного натурального п пусть N(n) - полугруппа всех натуральных чисел > п с присоединенной 1. Такие полугруппы N(m) и N(n) изоморфны тогда и только тогда, когда числа m и п обладают одинаковым мультипликативным строением, т.е. их канонические разложения на простые множители имеют равные системы показателей (при расположении в неубывающем порядке). Например, N(12)=N(18), но N(12) и N(24) не изоморфны.

6. Упражнения

В заключение приведем систему задач и упражнений на тему абстрактной делимости.

1.  Проверьте, что аксиомы 1)-5) в определении целой полугруппы обеспечивают выполнение соответствующих свойств делимости в группоидах (см. § 1).

2.  Какими порядковыми свойствами обладает отношение делимости в мультипликативной полугруппе всех целых чисел?

3.  Докажите простейшие свойства делимости 1)-8).

4.  Проверьте недоказанные в работе свойства НОД и НОК.

5.  Покажите, что в целых полугруппах справедливы следующие свойства частных: а/1 = а, а/а = 1, a/b = c ^a/c = b, k(a/b) = ka/b, ac/bc = a/b, (a/b)(c/d) = ac/bd, (a/b)/c = a/bc, a/(b/c) = ac/b.

6.  Убедитесь, что условие д) предложения 1 влечет условие и): из существования [a,b] следует существование [ac,bc] для всех ce4.

7.  Докажите, что условие и) из упражнения 6 не влечет d).

8.  Проверьте, что в полугруппе из примера 1 любые два элемента, ни один из которых не делится на другой, не имеют НОК.

9.  Влечет ли условие з) условие а)?

10.  Докажите предложение 2.

11.  Постройте пример целой полугруппы, в которой не выполняется условие з), но все неприводимые элементы простые.

12.  Докажите самостоятельно свойство (4) теоремы 1.

13.  Почему гауссовы полугруппы являются арифметическими?

14.  Найдите в примере 3 два элемента, не имеющих НОД.

15.  Покажите, что всякая целая полугруппа обладает не более одной минимальной системой образующих.

16.  Докажите предложение 6 (методом от противного).

17.  Приведите свои версии примеров 4-8.

18.  Докажите предложение 7 (по циклу).

19.  Целые полугруппы A и B назовем у-изоморфными, если изоморфны их упорядоченные множества делимости. Сохраняются ли при у-изоморфизме следующие свойства целых полугрупп: арифметичность, разложимость, гауссовость?

20.  Исследуйте вопрос: следует ли изоморфность целых полугрупп из их у-изоморфности?

21.  Целую полугруппу назовем атомной, если любой ее неединичный элемент делится на некоторый неприводимый элемент. Разложимые полугруппы атомны. Приведите пример атомной полугруппы, не являющейся разложимой.

22.  Дайте обоснование предложению 8 и его следствию.

23.  Проверьте утверждения I-III об изоморфности полугрупп.

24.  Для фиксированного натурального числа п обозначим через п^1 соответствующую мультипликативную полугруппу. Когда полугруппы mN+1 и п^1 изоморфны?

25.  Когда прямое произведение полугрупп является целой полугруппой?

26.  Обязан ли гомоморфный образ целой полугруппы также быть целой полугруппой?

27.  Докажите, что произвольное прямое произведение целых полугрупп является арифметической полугруппой тогда и только тогда, когда все сомножители суть арифметические полугруппы.

28.  Покажите, что прямое произведение семейства нетривиальных целых полугрупп является разложимой (гауссовой) полугруппой тогда и только тогда, когда это семейство конечно и все сомножители суть разложимые (соответственно, гауссовы) полугруппы.

29.  Покажите, что всякая коммутативная полугруппа с единицей является гомоморфным образом некоторой гауссовой полугруппы.

30.  Коммутативная полугруппа А с 1 называется свободной, если она обладает такой системой образующих X (называемой системой свободных образующих), что любое отображение множества X в произвольную коммутативную полугруппу B с 1 продолжается до гомоморфизма полугрупп A ^ B. Докажите, что гауссовы полугруппы - это в точности свободные полугруппы (в классе коммутативных полугрупп с 1).

31.  Какие из следующих свойств целых полугрупп сохраняются при переходе к целым гомоморфным образам: арифметичность, гауссовость, разложимость, атомность?

32.  Докажите, что любая подполугруппа целой полугруппы, содержащая 1, сама является целой полугруппой. Верно ли аналогичное утверждение для арифметических полугрупп, разложимых полугрупп, гауссовых полугрупп, атомных полугрупп, конечнопорожденных целых полугрупп?

33.  Обязаны ли идеалы конечнопорожденной целой полугруппы порождаться конечным числом элементов (как идеалы)? Напомним, что подмножество J коммутативной полугруппы А называется идеалом в А, если abeJ для любых аe4 и beJ.

34.  Покажите, что класс всех целых полугрупп с нульарной операцией (выделенным элементом) 1 образует квазимногообразие, но не многообразие.

35.  Придумайте свои вопросы и задачи по теме делимости.

Литература

1.  Аносов Д.В. Взгляд на математику и нечто из нее. - М.: МЦНМО, 2000 (Библиотека «Математическое просвещение»).

2.  Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

3.  Варанкина В.И., Вечтомов Е.М., Семенова И.А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 2. - С. 493-510.

4.  Вечтомов Е.М. Арифметические полугруппы // Материалы Всерос. науч. конф. - Киров: Изд-во ВятГПУ, 1996. - С. 135-137.

5.  Вечтомов Е.М. Две соросовские лекции по математике. - Киров: Изд-во ВятГПУ, 1999.

6.  Вечтомов Е.М. Элементарная делимость в целых полугруппах// Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. 2000. Вып. 2. - С. 10-24.

7.  Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. - М.: Наука, 1973.

8.  Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 2. - М.: Мир, 1972.

9.  Кон П. Свободные кольца и их связи. - М.: Мир, 1975.

10.  Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.

11.  Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высш. шк., 1979.

12.  Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. - М.: Наука, 1973.

13.  Родосский К.А. Алгоритм Евклида. - М.: Наука, 1988.

14.  Тестов В.А. Об аналоге основной теоремы арифметики в упорядоченных группоидах// Математические заметки. 1997. Т. 62. № 6. - С. 910-915.

15.  Уилсон Р. Введение в теорию графов. - М.: Мир, 1977.

IV.
Циклические группы и целые числа

Алгебра щедра - зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают.

Даламбер

Введение

Цель данного сюжета (см. [3]) - показать взаимодействие, в том числе и в процессе обучения математике, таких фундаментальных математических понятий, как группа и число. Абстракции числа и группы отражают и формализуют общенаучные и философские категории количества и симметрии.

В общих чертах взаимосвязи групп и чисел таковы. Целые, рациональные, действительные и комплексные числа доставляют важные исходные примеры групп. На их основе вырабатываются

_                                                                                                    __ Т"           KJ  KJ

аддитивная и мультипликативная терминологии для групп. В линейной алгебре рассматриваются векторные пространства, в частности n-мерные арифметические пространства, являющиеся абелевыми группами по сложению. Циклических группы образуют простейший, но

_                   KJ                                 ___ Т"                             KJ

основополагающий класс групп. В начале этой темы вводятся важнейшие в теории групп понятия порядка элемента группы и циклической подгруппы. Для доказательства их свойств необходимы некоторые элементарные факты о делимости целых чисел (теорема о делении с остатком, линейное представление НОД, простые числа).

В методическом плане описание циклических групп полезно получить двумя способами - непосредственно и с помощью теоремы о гомоморфизмах групп. Это дает простой и достаточно редкий пример структурных теорем, являющихся в современной алгебре желанной целью. Кроме абстрактного описания существуют три основные модели циклической группы п-го порядка: аддитивная группа классов вычетов по модулю п; мультипликативная группа комплексных корней п-й степени из 1; группа поворотов правильного n-угольника. Далее дается описание образующих элементов, подгрупп, факторгрупп, прямых произведений и гомоморфизмов циклических групп. В частности, доказывается существование и единственность подгруппы данного порядка конечной циклической группы, делящего порядок самой группы.

При изучении колец и полей, теории многочленов рассматриваются аддитивная и мультипликативная группы кольца.

В теории чисел находят применение свойства групп. Для целого ряда теоретико-числовых теорем методически оправданно и полезно наряду с прямыми «числовыми» доказательствами приводить и теоретико-групповые рассуждения. К ним относятся теоремы Эйлера и Вильсона, китайская теорема об остатках, свойство мультипликативности функции Эйлера, тождество Гаусса, существование первообразных корней по простому модулю. Групповая структура встречается при изучении числовых систем; вспомним хотя бы группу кватернионных единиц.

Рекомендуем читателю познакомиться с работами [1, 4-11], полезными для дальнейшего знакомства с темой.

В первом параграфе излагаются основные свойства циклических групп. Второй параграф посвящен применениям групп в теории чисел. Третий параграф содержит систему упражнений.

1. Основные свойства циклических групп

Для абстрактных групп будем использовать мультипликативные обозначения.

Пусть Л - группа и a - ее элемент. Множество

(a) = {ak: k - целое число} целых степеней элемента a образует подгруппу группы Л, называемую циклической подгруппой, порожденной элементом a. Действительно,

_                              ?                                     k m               k+m , k - 1                     - k

для любых целых k и m имеем a - a = a и (a )- = a" .

Подгруппа (a) либо конечна, либо бесконечна. В первом случае ak = am для некоторых целых чисел k < m. Тогда am-k=1 при натуральном показателе m-k. И существует наименьшее натуральное число n с этим свойством (an = 1), называемое порядком элемента a. Степени 1 = a0, a, a2,., an_1 попарно различны. Возьмем в (a) произвольный элемент a1. Разделим t на n с остатком: t = nq + r, r принимает одно из значений 0, 1,., n-1. Получаем a1 = (an)q-ar = 1q-ar = ar. Итак, если a имеет (конечный) порядок n, то циклическая подгруппа (a) сама имеет порядок n:

(a) = {1, a, a ,., an- }.

Следовательно, в случае бесконечной подгруппы (a) все целые степени элемента a различны между собой и

(а) = {., а"2, а"1, 1, а, а2, а3,.}.

В этом случае говорят, что элемент а имеет бесконечный порядок.

Группа A называется циклической, если A = (а) для подходящего элемента aeA, называемого образующим группы A. Циклические группы абелевы (коммутативны). Ясно, что в бесконечной циклической группе (а) существует еще только один образующий элемент а"1. Из сказанного следует также, что любые две бесконечные циклические группы изоморфны между собой, а конечные циклические группы порядка m и п соответственно изоморфны тогда и только тогда, когда m = п.

Теорема 1. Для любого элемента а конечной группы A выполняются следующие свойства:

1) 
элемент а имеет конечный порядок п, являющийся делителем порядка группы A;

2) 
а = 1 тогда и только тогда, когда п делит к.

Доказательство. Свойство 1) вытекает из вышесказанного и

теоремы Лагранжа: порядок любой подгруппы конечной группы делит порядок самой группы. Очевидно, что если порядок п элемента а делит целое число к, то ак = 1. Обратно, пусть ак =1 для целого числа к. Разделим к на п с остатком: к = пд + r и 0 < r < п - 1. Как и выше,

Г    k

получаем а = а = 1, откуда по определению порядка элемента r = 0, т. е. п делит к.

Проведенный анализ показывает, что справедлива следующая структурная теорема, дающая полное описание циклических групп.

Теорема 2. Любая бесконечная циклическая группа изоморфна как аддитивной группе Z всех целых чисел, так и мультипликативной числовой группе {2к: keZ}.

Любая конечная циклическая группа п-го порядка изоморфна каждой из следующих групп:

аддитивной группе Zn = { 0, 1, 2,...,..., п-1} классов вычетов целых чисел по модулю п;

мультипликативной группе {1, £ £,..., £-1} всевозможных комплексных корней п-й степени из 1, где £ = cos 2п/п + ism 2п/п;

группе поворотов правильного п-угольника вокруг центра по часовой стрелке на углы, кратные 2п/п.

Найдем все образующие циклической группы п-го порядка. Напомним, что число чисел 0, 1, ..., п-1, взаимно простых с п, является значением ф(п) функции Эйлера ф.

Теорема 3. Элемент a циклической группы (a) n-го порядка служит ее образующим в том и только в том случае, когда числа k и п взаимно просты. Значит, число образующих циклической группы п-го порядка равно ф(п).

Доказательство. Пусть ak, keZ, - какой-либо образующий циклической группы (a) n-го порядка. Тогда (ak)m = a для соответствующего целого числа m, т. е. akm-1 = 1. Откуда km-1 = nq для некоторого qe Z по свойству 2) теоремы 1. А это влечет взаимную простоту чисел k и п. Обратно, пусть числа k, п взаимно просты. Тогда в силу линейной представимости НОД 1 = kx + ny для некоторых x, yeZ. Поэтому a = akx+ny = (ak)x-(an)y = (ak)x-1y = (ak)x. Тем самым показано, что любой элемент циклической группы (a), являясь целой степенью a, является и целой степенью элемента ak. Значит, ak - образующий элемент данной циклической группы.

Выясним теперь строение подгрупп и факторгрупп произвольной циклической группы.

Теорема 4. Всякая подгруппа циклической группы есть циклическая группа. Для любого натурального делителя d порядка п конечной циклической группы в ней существует единственная подгруппа порядка d.

Доказательство. Пусть даны циклическая группа A = (a) и ее подгруппа B. Если B = {1} - единичная подгруппа, то B = (1). Будем считать, что в B содержится элемент ak Ф 1. Поскольку и a"keB, то B содержит степень a с натуральным показателем Ikl. Возьмем наименьшее натуральное число m, для которого ameB. Тогда B = (am) - циклическая группа. В самом деле, (am) cB. Если же akeB, то, разделив k на m с остатком k = md + r, r = 0, 1,.., m-1, будем иметь ar =ak-(am)-deB, что возможно только при r = 0. Значит, ak = (am)de(am). Поэтому и B c(am).

Рассмотрим подробнее циклическую группу (a) п-го порядка. Пусть, как и выше, ее неединичная подгруппа B порождается элементом am. Взяв п вместо k, получим п = md и B = {1, am, a2m,..., a(d-1)m} - циклическая группа порядка d = n/m.

Зафиксируем произвольный натуральный делитель d числа п. При m = n/d предыдущая группа B служит циклической подгруппой в (a) и имеет порядок d. Единственность подгруппы порядка d в (a) вытекает из уже проведенных рассуждений (каким образом?).

Теорема 5. Гомоморфные образы, в частности факторгруппы любой циклической группы, суть циклические группы.

Доказательство. Пусть A = (a) - циклическая группа и B - ее гомоморфный образ. Последнее означает, что существует гомоморфизм f группы A на группу B. Легко видеть, что группа B порождается элементом f(a): каждый элемент из B имеет вид f(ak) = f(a)k, т. е. B = (f(a)).

Факторгруппы A/B = {aB: aeA} произвольной абелевой группы A однозначно определяются ее подгруппами B. По теореме о гомоморфизмах гомоморфные образы данной группы исчерпываются с точностью до изоморфизма факторгруппами этой группы по ядрам соответствующих гомоморфизмов. Значит, порядок любого гомоморфного образа произвольной конечной группы делит порядок самой группы.

Получим теперь описание циклических групп, основанное на теореме о гомоморфизмах групп. Возьмем произвольную циклическую группу A = (a) и рассмотрим отображение f: Z ^ A, заданное формулой f(k) = ak для всех целых k. Получаем гомоморфизм f аддитивной группы Z на мультипликативную группу A. По теореме о гомоморфизмах группа A изоморфна факторгруппе циклической группы Z по подгруппе, равной по теореме 4 подгруппе nZc Z для некоторого неотрицательного целого числа n: A = Z/nZ. Если п = 0, то A = Z. А если п > 0, то A = Zn - аддитивной группе классов вычетов целых чисел по модулю п.

Определим далее понятие прямого произведения групп. Возьмем мультипликативно записанные группы A и B. На прямом произведении A х B = {(a, b): aeA, beB} этих множеств зададим покоординатную операцию умножения пар: (a, b)-(c, d) = (ac, bd). Очевидно, что введенная операция ассоциативна, пара (1, 1) служит единичным элементом, а пара (a"1, b"1) есть элемент, обратный паре (a, b). В результате получаем группу <A х B, •>, называемую прямым произведением групп A и B.

Теорема 6. Для того чтобы прямое произведение двух конечных циклических групп порядков m и п было циклической группой, необходимо и достаточно, чтобы числа m и п были взаимно простыми.

Доказательство. Пусть даны циклические группы (а) и (b) порядков m и п соответственно. Докажем сначала необходимость. Предположим, что (а) х (b) - циклическая группа с образующим (as, b1). Тогда (as, b1)1 = (a, 1) и (as, b1) = (1, b) для некоторых целых чисел i, j. Имеем равенства asl = a, bti = 1, aSj = 1 и btj = b. Откуда по пункту 2) теоремы 1 числа si-1 и sj кратны m, а числа ti и tj-1 кратны п. Если бы числа m, п не были взаимно простыми, то у них нашелся бы общий простой делитель p. Но тогда числа si - 1, sj и tj - 1 также делятся на p, и последовательно получаем: s не делится на p, j кратно p и 1 делится на p, что невозможно. Следовательно, НОД(™, п) = 1.

Достаточность. Пусть m и п - взаимно простые числа. Тогда mu + rn = 1 для некоторых целых чисел u, v. Покажем, что элемент (a, b) является образующим группы (а) х (b). Так как

(ax, by) = (a, 1)x-(1, b)y при любых целых х и у, то достаточно убедиться, что элементы (а, 1) и (1, b) являются целыми степенями (a, b). Учитывая равенство mu + w = 1, получаем

(a, b)nv = (a1_mu, bnv) = (a, 1) и (a, b)mu = (amu, bbnv) = (1, b).

В силу теоремы 2 теорема 6 имеет следующую аддитивную форму:

Zm х Zn = Zmn ^НОД(™, п) = 1.

Теорема 7. Существует ровно d = НОД(m, п) гомоморфизмов циклической группы m-го порядка в циклическую группу п-го порядка. Каждый такой гомоморфизм определяется переводом зафиксированного образующего первой группы в один из элементов подгруппы порядка d второй группы.

Данную теорему можно вывести из теоремы 4.

Возьмем мультипликативную группу Zn всех обратимых элементов кольца Zn. Заметим, что равенство а = b в кольце Zn эквивалентно сравнению а = b (mod п).

Теорема 8. Порядок группы ZN равен (р(п).

Доказательство. Достаточно показать, что обратимость класса вычетов а в кольце Zn равносильна взаимной простоте чисел а и п. Если a - b = 1, то ab = 1 (mod п), откуда и следует взаимная простота чисел a и n. Если же a и n взаимно просты, то ab + nc = 1 для некоторых целых чисел Ъ, с. Переходя к классам вычетов по модулю n, получаем

1 = a - Ъ + n - с = a - Ъ + 0 - с = a - Ъ.

2. Применения групп к числам

Рассмотрим применения групп к доказательству некоторых важнейших теорем элементарной теории чисел.

Теорема 9 (теорема Эйлера). Для любых взаимно простых целого числа a и натурального числа n выполняется сравнение

a<p(n) =1 (mod n).

Доказательство вытекает из теорем 1 и 8.

В качестве следствия получается малая теорема Ферма: для любых простого числа p и целого числа a, не делящегося на p, имеем

ap-1 = 1 (mod p).

Из вышесказанного следует алгебраический критерий простоты натурального числа n: n - простое ^ кольцо Zn - поле. Другую характеризацию дает

Теорема 10 (теорема Вильсона). Натуральное число n Ф1 является простым тогда и только тогда, когда справедливо следующее сравнение:

(n - 1)! + 1 =0 (mod n).

Доказательство. Очевидно, что для составного числа n данное сравнение неверно. При n = 2 сравнение верно. Пусть дано нечетное простое число n. В группе Zn* = { 1, 2, ..., n - 1} только последний элемент имеет порядок 2. Поэтому все неединичные элементы, кроме n - 1, разбиваются на пары взаимно обратных элементов. Следовательно, перемножая все элементы этой абелевой группы, мы получим n - 1 = - 1. Переходя от классов вычетов по модулю n к целым числам, будем иметь требуемое сравнение.

Теорема 11 (тождество Гаусса). Любое натуральное число n равно сумме p(1) +...+ pd) +...+ pn), взятой по всем натуральным делителям d числа n.

Доказательство. Рассмотрим циклическую группу Л порядка n. Каждый ее элемент имеет порядок d, делящий n (теорема 1), и порождает единственную циклическую подгруппу B в Л порядка d (теорема 4). Поэтому все элементы порядка d лежат в B и служат ее образующими, число которых равно 9(d) по теореме 3. Остается заметить, что для любого натурального делителя d числа п в группе A существует хотя бы один элемент порядка d (снова теорема 4).

Сейчас мы немного отступим от характера этого параграфа, применив теоретико-числовую теорему 11 к доказательству следующего важного общеалгебраического результата.

Теорема 12. Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической.

Доказательство. Пусть A - мультипликативная группа конечного поля P, содержащая п элементов. Надо показать, что в A найдется элемент п-го порядка. Для любого натурального делителя d числа п через y(d) обозначим число всех элементов группы A, имеющих порядок d. Учитывая теорему 1, заключаем: п = у(1) +.+ y(d) +.+ у(п), где суммирование ведется по всем натуральным делителям d числа п.

Возьмем такое число d и произвольный элемент aeA порядка d, если он найдется. Элемент a порождает циклическую подгруппу B порядка d в A, каждый элемент которой удовлетворяет равенству xd = 1 (см. теорему 1). Хорошо известно, что уравнение xd = 1 имеет в поле P не более d решений. Поэтому все элементы порядка d из A лежат в B - их 9(d) по теореме 3. Значит, y(d) равно 9(d) или 0. Сопоставление полученных неравенств y(d) < 9(d) с равенством Xy(d) = п и тождеством Гаусса показывает, что y(d) = 9(d) для любого натурального делителя d числа п. Так, у(п) = 9(п), что и означает существование в A элемента порядка п.

В частности, мультипликативная группа поля Zp, р - простое число, есть циклическая группа порядка р-1. Напомним, что целое число a, взаимно простое с натуральным числом п, называется первообразным корнем по модулю п, если 9(п) является наименьшим натуральным показателем k, для которого верно сравнение ak =1 (mod п). Теорема 8 показывает, что существование первообразного

корня по модулю п эквивалентно цикличности мультипликативной

*

группы Zn . Вот полный список модулей п, по которым существуют первообразные корни: 2, 4, 8, рк и 2рк, где р пробегает множество все нечетных простых чисел, а k - натуральных.

Итак, теоремы 12 и 3 дают следующий результат:

Теорема 13. По любому простому модулю р существует ровно ффр-1) первообразных корней (с точностью до сравнимости по модулю p).

Далее докажем теорему о мультипликативности функции Эйлера и китайскую теорему об остатках.

Теорема 14. g(mn) = g(m)^n) для любых взаимно простых натуральных чисел m и п.

Доказательство проводится в одну строчку:

ф^п)= | Zmn* I = I (ZmXZn)* | = | ZmXZn* | = | Zm* |'| Zn* | =ф(m)ф(n).

Здесь мы применили теорему 8 и аддитивную форму теоремы 6. Конечно же, необходимо понимание прямого произведения колец, определение которого вполне аналогично определению прямого произведения групп. Знак | | обозначает число элементов соответствующего конечного множества.

Теорема 15 (китайская теорема об остатках). Если m, п - взаимно простые натуральные числа, то для любых целых чисел a и b найдется целое число, сравнимое с числом a по модулю m и сравнимое с числом b по модулю п.

Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы. Требуется доказать разрешимость системы двух сравнений x = a (mod m) и x = b (mod n). Рассмотрим элемент ( a, b) аддитивной группы Zm X Zn. По теореме 6 эта группа является циклической с образующим (1, 1). Поэтому (a, b) = k( 1, 1) = ( k, k) для некоторого неотрицательного целого числа k < mn. Остается перейти к сравнениям по модулям m и п соответственно.

3. Упражнения

1. Какие из следующих групп являются циклическими? И

почему? Какие из них изоморфны?

* * * * * *

Г руппы Z5 , Z6 , Z7 , Z8 , Z9, Z10 , Z12 .

Прямое произведение групп Z6 и Z15, Z7 и Z16, Z и Z, Z и Zn.

Аддитивная группа Q всех рациональных чисел.

Мультипликативная группа всех положительных рациональных чисел.

Группа подстановок третьей степени.

Группа кватернионных единиц.

2.  Найдите порядки элементов перечисленных в упр. 1 групп.

3.  Найдите подгруппы и факторгруппы этих групп.

4.  Что представляют собой аддитивная и мультипликативная группы кольца всех квадратных матриц с элементами из кольца Zn? Сначала рассмотрите случаи n = 2, 3, 4, 5.

5.  Почему конечная группа простого порядка является циклической?

6.  Докажите, что мультипликативная группа бесконечного поля не может быть циклической (см. [2], лемма 2).

7.  Докажите, что аддитивная группа и мультипликативная группа одного и того же поля не изоморфны друг другу.

8.  Дайте строгое обоснование единственности подгруппы порядка d в теореме 4 (конец доказательства).

9.  Чему равно произведение всех элементов циклической группы порядка n? Какой отсюда можно сделать вывод для циклических групп четного порядка?

10.  Чему равно произведение всех образующих циклической группы n-го порядка?

11.  Найдите квадрат произведения всех элементов конечной абелевой группы.

12.  Какие циклические группы имеют ровно две факторгруппы?

13.  Сколько факторгрупп имеет конечная (бесконечная) циклическая группа?

14.  Покажите, что для любого элемента a конечной группы n-го порядка an = 1.

15.  Пусть элементы a, Ъ некоторой группы имеют конечные порядки m и n. Докажите, что в случае ab = ba элемент ab имеет конечный порядок, равный НОК^, n). Верно ли это в общем случае?

16.  Пусть a, Ъ, с - элементы произвольной группы. Проверьте, что следующие пары элементов имеют одинаковые порядки: a и a"1; ab и ba; aba4 и Ъ; abc и bca. Всегда ли это верно для элементов abc и acb?

17.  Если в группе все неединичные элементы имеют порядок 2, то она абелева. Докажите.

18.  Если в группе существует единственный элемент порядка 2, то он коммутирует с каждым элементом данной группы. Докажите.

19.  Покажите, что любая конечная группа четного порядка содержит элемент порядка 2.

20.  Заметим, что по теореме Коши для каждого простого делителя р порядка произвольной конечной группы в ней существует элемент порядка р. Попытайтесь доказать теорему Коши для конечных абелевых групп.

21.  В
любой конечной группе нечетного порядка каждый элемент служит квадратом некоторого однозначно определенного ее элемента. В чем здесь дело?

22.  Дайте другое доказательство достаточности в теореме 6, рассмотрев естественный гомоморфизм аддитивной группы Zmn в прямое произведение аддитивных групп Zm и Zn.

23.  Обобщите теорему 6 на несколько сомножителей.

24.  Выведите теорему 7 из теоремы 4.

25.  Восстановите детали в доказательстве теоремы 14.

26.  Изоморфны ли группы Z12 х Z72 и Z18 х Z48 ?

27.  Опишите все групповые гомоморфизмы Z в Zn, и наоборот.

28.  Рассмотрим множество всех гомоморфизмов группы Zm в группу Zn. На нем определяется групповая операция поточечного сложения. Каким образом? Исследуйте получившуюся группу.

29.  Что представляет собой группа всех автоморфизмов (изоморфизмов на себя) группы Zn, рассматриваемых с операцией композиции? Аналогичный вопрос для группы Z.

30.  В
каком еще виде можно сформулировать малую теорему Ферма?

31.  Установите сравнение (a + b)p = ap + bp (mod р) для любых простого числа р и целых чисел a, b.

32.  Исходя из предыдущего сравнения, докажите малую теорему Ферма.

33.  Имеет ли место теорема, обратная малой теореме Ферма?

34.  Докажите, что справедливы следующие характеризации простоты натурального числа р > 1: а) р | ab влечет р | a или р | b для любых целых чисел a, b; b) кольцо Zp является полем.

35.  Найдите все первообразные корни 24-й степени из 1.

36.  Как формулируется китайская теорема об остатках для нескольких модулей? Докажите ее.

37.  Верна ли китайская теорема об остатках для бесконечного множества модулей?

38.  Сформулируйте и докажите теорему, обратную китайской теореме об остатках.

39.  Выведите из китайской теоремы об остатках достаточность в теореме 6.

Литература

1.  Алексеев В.Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. - М.: Наука, 1976.

2.  Вечтомов Е.М. О свойствах полутел // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. 2001. Вып. 3. - С. 11-20.

3.  Вечтомов Е.М., Ковязина Е.М. Циклические группы и числа// Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. 2001. Вып. 3. - С. 79-87.

4.  Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. - М.: Мир, 1971.

5.  Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. - М.: Наука, 1973.

6.  Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982.

7.  Ляпин Е.С., Айзенштат А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. - М.: Наука, 1967.

8.  Начала теории групп: Методическая разработка / Авт.-сост.: Е. М. Вечтомов, В. П. Матвеев. - Киров: КГПИ, 1990.

9.  Никулин В.В., Шафаревич И.Р. Геометрии и группы. - М.: Наука, 1983.

10.  Сборник задач по алгебре/ Под ред. А.И. Кострикина. - М.: Наука, 1987.

11.  Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972.

V. Упорядоченные множества

Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор.

Давид Гильберт

В этом приложении будет рассмотрена порядковая структура. Сразу отметим, что первоначально с упорядоченными множествами и решетками можно познакомиться по работам [4, 6, 17, 19, 27, 36]. Основные книги - это [5, 8, 16, 20, 21, 24, 25, 27, 38, 42].

1. Конечные упорядоченные множества

Определение 1. Упорядоченным множеством называется непустое множество X вместе с заданным на нем бинарным отношением порядка <, которое по определению:

1)  рефлексивно: а < а;

2)  транзитивно: а < b < c ^ а < с;

3)  антисимметрично: а < b < а ^ а = b (для любых a, b, с eX). Элементы а и b упорядоченного множества называются

сравнимыми, если а < b, а = b или b < а, и несравнимыми в противном случае. Знаки <, > и > имеют обычный смысл. Упорядоченное множество < X, >) двойственно к упорядоченному множеству (X, <), которое в свою очередь двойственно к (X, >).

Определение 2. Упорядоченное множество называется линейно упорядоченным, или цепью, если любые два его элемента сравнимы. Если любые два элемента упорядоченного множества несравнимы, то оно называется антицепью.

Примером цепи служит множество R всех действительных чисел с обычным порядком или любое его непустое подмножество с индуцированным порядком. Этот и другие важнейшие примеры упорядоченных множеств приведены в таблице на с. 282: булеан B(X), < N, I), упорядоченные множества подпространств векторного

пространства и числовых функций [0,1] [аb].

Определим некоторые исходные понятия теории упорядоченных множеств.

Пусть ( X, <) - произвольное упорядоченное множество. Элемент aeX называется наибольшим (наименьшим), если х < а (а < х) для всех элементов xeX. Элемент aeX называется максимальным (минимальным), когда в X нет элементов x > a (x < a).

Возьмем непустое подмножество Y в X. Элемент xeX называется верхней гранью (нижней гранью) множества Y, если у < x (x < у) для любого у eY. Если множество всех верхних граней множества Y непусто и имеет наименьший элемент, то этот элемент называется точной верхней гранью множества Y и обозначается sup Y. Двойственным образом определяется понятие точной нижней грани inf Y.

Определение 3. Отображение f X ^ Y упорядоченных множеств называется изотонным, если a < Ъ влечет f(a) <f(b) для любых a, Ъ eX. Изотонная биекция f: X ^ Y упорядоченных множеств называется их (порядковым) изоморфизмом, если обратное отображение f 4 также изотонно. Упорядоченные множества, между которыми существует изоморфизм, называются (порядково) изоморфными.

Говорят, что элемент beX покрывает элемент aeX, если a < Ъ и в X нет элементов x, удовлетворяющих неравенствам a < x < Ъ (находящихся между a и b).

Диаграмму Хассе любого конечного упорядоченного множества X можно построить следующим образом. Берем в X множество X1 всех минимальных элементов и изображаем их точками, расположенными горизонтально (это первый уровень). Затем в упорядоченном множестве XX1 снова рассматриваем множество X2 всевозможных минимальных элементов, помещая их на второй горизонтальный уровень над первым. Далее повторяем процедуру: берем упорядоченное множество X(X1uX2) и т. д. В результате упорядоченное множество X разбивается на уровни X1, X2,..., Xn, являющиеся антицепями. Если элемент a покрыт элементом b, то соединяем их отрезком, идущим вверх. Элемент aeX находится на k-м уровне (2 < k < n) тогда и только тогда, когда начинающиеся с a убывающие цепи в X имеют наибольшую длину k-1 (т. е. самая длинная ломаная с наибольшим элементом a имеет k-1 звено). Элементы последнего уровня Xn максимальны, но не обязаны исчерпывать множество всех максимальных элементов в X.

Построим диаграммы Хассе упорядоченных множеств, имеющих n < 4 элементов.

n = 1

n = 4

n = 2

n = 3

I к v
1

.... I.. Л. А И

II И

К ^

T I. к

Длиной конечной цепи X называется число |x|-1 ее элементов, уменьшенное на 1. Длиной l(X) конечного упорядоченного множества X называется наибольшая из длин его цепей. Наибольшее число элементов антицепей конечного упорядоченного множества X называется его шириной w(X).

Теорема 1. Для любого конечного упорядоченного множества X справедливо неравенство |x| <(l(X)+1)-w(X).

Доказательство. Рассмотрим диаграмму Хассе конечного упорядоченного множества X. Ясно, что число уровней диаграммы равно l(X)+1. Каждый уровень является антицепью в X, поэтому число его элементов не превосходит ширины w(X). Поскольку различные уровни как множества попарно не пересекаются, то получаем искомое неравенство.

Применим эту теорему к решению одной задачи XIII Московской математической олимпиады.

Задача. Пусть числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в произвольном порядке. Докажите, что в данной последовательности можно вычеркнуть 90 чисел так, чтобы оставшиеся 11 чисел были расположены в порядке возрастания либо в порядке убывания.

Решение. На множестве X = {1, 2, 3, ..., 101} введем новый порядок, соответствующий данному расположению чисел. Положим m п в том и только том случае, когда m < п и m расположено раньше п. В результате получим упорядоченное множество < X, <). В нем возрастающие подпоследовательности служат цепями, а убывающие подпоследовательности - антицепями. По теореме 1

(l(X)+1)-w(X) > |X| = 101, откуда l(X)+1 > 11 или w(X) > 11. Что и требовалось доказать.

Упражнения. 1. Если (X, <) - упорядоченное множество, то отношение < на X транзитивно и антирефлексивно: для любого ae X неверно, что a < a. Антирефлексивное транзитивное отношение на множестве X называется отношением строгого порядка на X. Обратно, если < - произвольный строгий порядок на множестве X, то < X, <) - упорядоченное множество. Тем самым между порядками и строгими порядками на любом множестве X существует естественное взаимно однозначное соответствие. Докажите эти утверждения.

2.  В терминах разбиений множества опишите все симметричные транзитивные отношения на произвольном непустом множестве.

3.  Докажите принцип двойственности для упорядоченных множеств: если некоторое предложение об упорядоченных множествах верно для всех упорядоченных множеств, то верно и двойственное предложение, получающееся из данного заменой отношения < на отношение > (и обратно). Приведите примеры двойственных понятий и двойственных теорем.

4.  Покажите, что любой порядок < на конечном множестве X является пересечением нескольких линейных порядков. Наименьшее число таких линейных порядков называется размерностью упорядоченного множества < X, <). Отметим, что для любого натурального числа п существует конечное упорядоченное множество размерности п [22, пункт 10.4]. Например, можно взять булеан п-элементного множества.

5.  Сколько различных отношений порядка можно задать на п-элементном множестве при п < 4?

Замечание (см. [5]). С точностью до порядкового изоморфизма существуют 63 пятиэлементных упорядоченных множества (нарисуйте их диаграммы), 318 - шестиэлементных, 2045 - семиэлементных. Число упорядочений п-элементного множества равно 3 при п=2, 19 при п=3, 219 при п=4, 4321 при п=5, 130023 при п=6, 6129859 при п=7.

2. Упорядоченные множества с условием минимальности

Говорят, что упорядоченное множество X удовлетворяет условию минимальности, если каждое его непустое подмножество Y имеет хотя бы один минимальный элемент.

Определение 4. Линейно упорядоченное множество с условием минимальности называется вполне упорядоченным множеством.

Хорошо известны следующие характеризации произвольного упорядоченного множества с условием минимальности X (см. [27]):

1)  в X нет бесконечных строго убывающих цепей;

2)  X обладает принципом нетеровой индукции: для всякого свойства P элементов множества X, если им обладают все минимальные элементы из X и из выполнения P для всех элементов, меньших произвольного xeX, следует выполнение P для х, то свойством P обладают все элементы множества X.

Условие индуктивности 2) обобщает как математическую индукцию на натуральном ряде N, так и трансфинитную индукцию на произвольном вполне упорядоченном множестве.

Любое непустое подмножество упорядоченного множества с условием минимальности само обладает условием минимальности относительно индуцированного порядка. Каждый элемент упорядоченного множества с условием минимальности больше некоторого его минимального элемента или равен ему.

Пусть (Xi )ieI - непустое семейство упорядоченных множеств, в

которых порядок обозначен обычно <. Прямым произведением этого

семейства упорядоченных множеств называется упорядоченное

множество П Xi = {(xt) I xt e Xt} с поточечным отношением          порядка: ieI

(Xi) < (yi) означает, что xt < yt для всех i e I.

Предложение 1. Прямое произведение семейства                        (Xt )ieI

упорядоченных множеств является упорядоченным множеством с условием минимальности тогда и только тогда, когда все Xi удовлетворяют условию минимальности, причем почти все из них являются антицепями.

Доказательство. Пусть Х - прямое произведение данного семейства упорядоченных множеств. Ясно, что если Х есть упорядоченное множество с условием минимальности, то и любой его сомножитель обладает этим же свойством. Если же среди Xt бесконечно много неантицепей, то каждое из них содержит двухэлементную цепь, прямое произведение которых не может быть упорядоченным множеством с условием минимальности. Поэтому достаточно показать, что прямое произведение двух упорядоченных множеств с условием минимальности Х и Y само удовлетворяет условию минимальности. Для этого возьмем убывающую цепь элементов (xn, yn) в произведении X х Y. Цепи (xn) в Хи (yn) в Y обрываются, следовательно, обрывается и цепь ((xn, yn)).

Мы хотим обобщить одну теорему Диксона [18, с. 164]. Для этого дадим следующее определение.

Определение 5. Упорядоченное множество с условием минимальности назовем упорядоченным множеством с конечным условием минимальности, если любое его непустое подмножество имеет лишь конечное число минимальных элементов.

Всякое непустое подмножество упорядоченного множества с конечным условием минимальности также удовлетворяет конечному условию минимальности.

Предложение 2. Для произвольного упорядоченного множества Х равносильны следующие утверждения:

1)  Х обладает конечным условием минимальности;

2) 
Х - упорядоченное множество с условием минимальности, не имеющее бесконечных антицепей;

3) 
любое бесконечное множество в Х содержит бесконечную строго возрастающую цепь.

Доказательство. Очевидно, что утверждения 1) и 2) эквивалентны, а условие 3) влечет 2). Пусть Х удовлетворяет утверждению 1). Возьмём в Х бесконечное множество Y. Оно содержит только конечное множество минимальных элементов x1,., xk, и любой другой его элемент больше одного из них. Поэтому в Y существует бесконечно много элементов, больших одного из этих минимальных, скажем, x1. Повторяя с новым бесконечным множеством аналогичное рассуждение, получим элемент y1 е Y, больший x1. Продолжая данный процесс неограниченно, мы и получим в Y бесконечную строго возрастающую последовательность элементов.

Заметим, что приведенные рассуждения представляют собой метод Кенига, примененный им при доказательстве знаменитой леммы Кенига, один из вариантов которой может быть сформулирован так:

Лемма Кенига. Если в упорядоченном множестве нет бесконечных цепей и нет бесконечных антицепей, то оно конечно.

Отметим также, что доказательство эквивалентности утверждений 2) и 3) приписывается Капланскому [5, с. 237, упр. 7].

Теорема 2. Прямое произведение любого непустого семейства неодноэлементных упорядоченных множеств есть упорядоченное множество с конечным условием минимальности тогда и только тогда, когда это семейство конечно, а все сомножители также обладают конечным условием минимальности.

Доказательство. В силу предложений 1 и 2 достаточно показать, что прямое произведение двух упорядоченных множеств Х и Y с конечным условием минимальности не содержит бесконечных антицепей. Предположим от противного, что в X х Y существует счетная антицепь A. Множество первых координат элементов из А (как и множество их вторых координат) бесконечно - в противном случае получили бы бесконечное множество пар с одной и той же первой координатой, что дало бы бесконечную антицепь соответствующих вторых координат в Y. По предложению 2, среди первых координат элементов-пар из А существует бесконечная цепь x1 < x2 <... < xn <... .

Далее рассмотрим соответствующее множество {(xn, yn)} в А. Как и выше, среди бесконечного множества элементов yn найдется бесконечная строго возрастающая подпоследовательность. В результате получим в А сравнимые элементы. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Следствие 1 (теорема Диксона). Прямое произведение конечного числа цепей неотрицательных целых чисел есть упорядоченное множество с конечным условием минимальности.

Замечание. В силу принципа двойственности все сказанное здесь верно и для упорядоченных множеств с соответствующими условиями максимальности. Упорядоченные множества, в которых одновременно выполняются условия минимальности и максимальности, - это те и только те упорядоченные множества, в которых все цепи конечны. Поэтому в силу леммы Кенига получаем, что всякое упорядоченное множество, одновременно удовлетворяющее конечным условиям минимальности и максимальности, конечно.

Следствие 2. Прямое произведение конечного числа цепей не содержит бесконечных антицепей тогда и только тогда, когда все эти цепи либо одновременно удовлетворяют условию минимальности (т. е. являются вполне упорядоченными множествами), либо одновременно удовлетворяют условию максимальности.

3. Упорядоченные множества с диаграммой Хассе

Рассматриваются характеристические свойства упорядоченных множеств, имеющих диаграмму Хассе. Указано, относительно каких операций замкнут класс всех упорядоченных множеств с диаграммой Хассе.

Определение 6. Скажем, что упорядоченное множество X имеет диаграмму Хассе (или с диаграммой Хассе), если в нем строгий порядок < определяется отношением покрытия: для любых a, b из X a< b тогда и только тогда, когда в X существует конечная последовательность элементов x0 = a, x1, ..., xn = b, такая, что xi+1 покрывает x для каждого i= 0, 1, п-1. При этом будем говорить, что a подчинено b.

Далее, замкнутым интервалом упорядоченного множества X называется множество {x eX: a < x < b} при a < b. Локально конечные упорядоченные множества имеют диаграмму Хассе. Только одноэлементные упорядоченные множества являются цепями и антицепями одновременно.

Выше диаграмма Хассе конечных упорядоченных множеств строилась вверх, исходя их минимальных элементов. Но для конечного упорядоченного множества диаграмму Хассе можно построить и двойственным образом (вниз), отправляясь от максимальных элементов. В конечном упорядоченном множестве X любой элемент < некоторого максимального элемента и
> некоторого минимального элемента. Значит, каждый элемент в X, не являющийся ни минимальным, ни максимальным, лежит между подходящими минимальным и максимальным элементами из X. Для бесконечного упорядоченного множества с диаграммой Хассе это, вообще говоря, неверно. Например,
цепь Z всех целых чисел с естественным отношением порядка имеет диаграмму Хассе, но в ней нет наименьшего и наибольшего элементов. Как же строить диаграмму Хассе для таких X?

Пусть X - произвольное упорядоченное множество с диаграммой Хассе. Возьмем в X какую-нибудь максимальную антицепь X0, существование которой обеспечивает лемма Цорна. Для каждого элемента aeXX0 существует элемент beX0, такой, что a подчинено b либо b подчинено а. Элементы из X, большие (меньшие) некоторых элементов из X0, образуют упорядоченное множество X+ (соответственно, X"). Одно (или оба) из этих множеств может быть пустым. Если X = 0, то X имеет диаграмму Хассе, строящуюся вверх относительно множества X0 минимальных элементов. Если же X+ = 0, то X обладает диаграммой Хассе, строящейся вниз с множеством X0 максимальных элементов.

Теперь предположим, что оба множества X и X+ непусты. Тогда X разбивается на три класса X, X0, X+. Действительно, множества X и X+ не пересекаются - в противном случае нашлись бы элементы aeX и b, ceX0, для которых b < а < с, откуда следовала бы сравнимость различных элементов b и с из X0, что невозможно. Но возможно, что некоторый элемент из X напрямую покрывается элементом из X+. Упорядоченное множество X+ распадается на уровни X1, X2,..., Xn,..., множество которых конечно или бесконечно. А упорядоченное множество X двойственным образом распадается на уровни X_1, X_2,...,

X-m,.•• .

Рис. 1

b

Рис. 3

a

Рис. 2

Пример. Диаграмма Хассе конечного упорядоченного множества может быть построена различными способами. Возьмем упорядоченное множество X = {a, b, с, d, e, f}, в котором а < e < f, b < e и с < f. Первый способ рассмотрен нами вначале - начинаем с множества минимальных элементов X1 = { a, b, с, d}, затем находим X2 = { e} и X3 = { f} (см. рис. 1).

Двойственный способ дает множество максимальных элементов (d, f} и более низкие уровни (с, e}, (a, b} (рис. 2). Наконец, беря максимальную антицепь X0 = (с, d, e}, получаем X1 = {f} и X_1 = (a, b} (рис. 3).

В X существует еще две максимальных антицепи: (a, b, с, d} и (d, f}, но начиная с них мы получим уже рассмотренные диаграммы Хассе (рис. 1 и 2). Для конечных упорядоченных множеств первые два способа построения диаграмм Хассе являются частными случаями третьего способа, когда мы начинаем с максимальных антицепей - множества всех минимальных элементов или множества всех максимальных элементов соответственно.

Непустое подмножество упорядоченного множества X называется ограниченным сверху (ограниченным снизу), если оно имеет в X верхнюю грань (соответственно, нижнюю грань), и просто ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу. Если a < b - покрытие в цепи X, то элемент a называют предшествующим элементу b, в свою очередь элемент b называют последующим за a.

Рассмотрим теперь понятие сечения. Теория сечений была создана Дедекиндом для построения действительных чисел как сечений цепи Q. Сечением (A, B) (обозначается также A | B) цепи X называется разбиение X на два класса A и B (AnB = 0 и AuB = X), при котором a < b для любых aeA и beB. При этом множество A называется нижним классом сечения (A, B), а B - верхним классом. Элемент с цепи X называется рубежом, или границей, ее сечения (A, B), если a < с < b при любых a eA и b eB. Сечения могут иметь 0, 1 или 2 рубежа.

Сечение (A, B) цепи X, не имеющее ни одного рубежа, называется щелью: в нижнем классе A нет наибольшего элемента, а в верхнем классе B нет наименьшего элемента. Сечение (A, B) называется дедекиндовым, если оно имеет ровно один рубеж: либо в A существует наибольший элемент, либо в B - наименьший. Сечение (A, B) с двумя рубежами называется скачком: A обладает наибольшим элементом и B обладает наименьшим элементом.

Определение 7. Цепь X называется дискретным упорядоченным множеством, если любое сечение в X является скачком.

Очевидно, в произвольном дискретном упорядоченном множестве любой ненаибольший элемент имеет последующий элемент, а любой ненаименьший элемент обладает предыдущим элементом. Непустые подмножества цепи Z дискретны. С точностью до порядкового изоморфизма ими исчерпываются все дискретные упорядоченные множества (теорема из пункта 4).

Предложение 3. Произвольная цепь имеет диаграмму Хассе тогда и только тогда, когда она дискретна.

Доказательство. Достаточность вытекает из только что сказанного. Пусть цепь X имеет диаграмму Хассе. Возьмем в X произвольное сечение (A, B). Если оно не является скачком, то никакой элемент из A не подчинен никакому элементу из B; противоречие.

Из определений и леммы 1 вытекает, что для упорядоченных множеств свойство иметь диаграмму Хассе и свойство дискретности наследственны, т. е. сохраняются при переходе к непустым подмножествам.

Теорема 3. Для любого упорядоченного множества (X, <) эквивалентны следующие условия:

1) 
X имеет диаграмму Хассе;

2) 
X обладает диаграммой Хассе, построенной (как и выше) на основе произвольной максимальной антицепи;

3) 
каждая цепь в X имеет диаграмму Хассе;

4) 
все цепи в X дискретны;

5) 
все ограниченные цепи в X конечны.

Доказательство. Импликация 1) ^ 2) обоснована выше. Поскольку свойство иметь диаграмму Хассе наследственно, то получаем импликацию 2) ^ 3). По лемме 2 условия 3) и 4) эквивалентны. Лемма 1 дает импликацию 4) ^ 5).

Наконец, пусть X удовлетворяет условию 5). Возьмем в X элементы a < b. Если они не образуют покрытие, то между элементами a и Ъ существует элемент с1. Если хотя бы одно из звеньев цепочки a < с1 < Ъ не является покрытием, то в нее можно добавить новый элемент с2. Продолжая этот процесс, мы через конечное число шагов получим цепочку покрытий, так как в противном случае получили бы бесконечную ограниченную цепь (cn) в X, что противоречило бы условию. Следовательно, элемент a подчинен элементу b, что завершает доказательство теоремы.

Отображение f: X ^ Y упорядоченных множеств назовем строго изотонным, если a < b равносильно f(a) <f(b) для любых a, b eX. Замкнутость некоторого класса K упорядоченных множеств относительно изотонных (или строго изотонных) отображений означает, что если X eK и существует изотонное отображение X на упорядоченное множество Y, то и Y eK. Легко видеть, что класс упорядоченных множеств с диаграммой Хассе замкнут относительно строго изотонных отображений, но не замкнут относительно произвольных изотонных отображений (так, всякая несчетная антицепь взаимно однозначно и, очевидно, изотонно отображается на любую цепь этой же мощности).

Прямое произведение семейства упорядоченных множеств определяется стандартно. В [13] дано необходимое и достаточное условие, при котором прямое произведение непустого семейства упорядоченных множеств обладает конечным условием минимальности. Прямое произведение любого семейства антицепей снова является антицепью.

Предложение 4. Прямое произведение непустого семейства (X) упорядоченных множеств имеет диаграмму Хассе тогда и только тогда, когда все Xi имеют диаграмму Хассе и почти все из них (кроме конечного числа) являются антицепями.

Доказательство. Пусть прямое произведение X непустого семейства упорядоченных множеств Xi имеет диаграмму Хассе. Каждое Xi имеет диаграмму Хассе, ибо оно изоморфно подмножеству в X, в котором все координаты, кроме i-й, фиксированы. Предположим от противного, что существует бесконечно много Xi, не являющихся антицепями. Тогда выберем в каждом таком Xi пару ai < bi, а в каждой антицепи Xi - элемент ai = bi. Получаем (ai) < (bi) в X, но элемент (ai) не подчинен элементу (bi).

Прямое произведение упорядоченного множества с диаграммой Хассе на любую антицепь имеет диаграмму Хассе. Поэтому для доказательства достаточности надо только показать, что прямое произведение двух упорядоченных множеств с диаграммой Хассе имеет диаграмму Хассе. Пусть X, Y - произвольные упорядоченные множества с диаграммой Хассе и (a, Ъ) < (c, d) в их прямом произведении XxY. Если, скажем, a = c, то подчинение Ъ < d в Y индуцирует подчинение (a, Ъ) < (a, d) в XxY. Поэтому можно считать, что существуют цепочки покрытий a < a1 < ... < am-1 < c и Ъ < Ъ1 < ... < bn-1 < d в X и в Y соответственно. Но тогда цепочка

(a, Ъ) < (a1, Ъ) <. < (am-1, Ъ) < (c, Ъ) < (с, Ъ1) < ... (c, bn-1) < (c, d) определяет подчинение (a, Ъ) < (c, d) в XxY. Предложение доказано. Из сказанного выше и предыдущего предложения следует Теорема 4. Класс всевозможных упорядоченных множеств с диаграммой Хассе наследственен, замкнут относительно строго изотонных отображений и замкнут относительно конечных прямых произведений.

Заметим также, что класс всех дискретных упорядоченных множеств наследственен, замкнут относительно изотонных отображений и замкнут относительно лексикографического умножения на конечные цепи.

4. Линейно упорядоченные множества

Дадим обзор исходных понятий теории линейно упорядоченных множеств, называемых также цепями. Цепи образуют, казалось бы, простейший класс упорядоченных множеств. Но цепи сами устроены достаточно сложно, имеют тонкие свойства, выражаемые, скажем, через понятие сечения. Они играют важнейшую роль в упорядоченных множествах. Так, через цепи определяются такие характеристики упорядоченных множеств, как длина и размерность. Понятие цепи позволяет определить основные числовые системы как чисто порядковые структуры. Существенно используются разные виды цепей в теории множеств, в современной алгебре, в общей топологии, в функциональном анализе, в математической логике, в дискретной математике [1-3, 5-8, 11, 14-17, 20, 21, 25, 28, 33, 34, 37, 40].

Цель данной работы - обратить внимание преподавателей и студентов на этот важный и интересный раздел современной математики. Мы приводим целый ряд основных результатов о цепях и их свойствах. В частности, цепи рассматриваются как топологические пространства с интервальной топологией.

Мы приводим небольшой список литературы, поскольку обширнейшая библиография содержится в обзорах [14, 26] и сборниках обзоров [29-32], которые при желании можно найти в библиотеках. Для лучшего понимания материала цепи полезно наглядно представлять себе и изображать как подмножества горизонтальной числовой прямой.

Основные понятия

Пусть X - произвольная цепь. Если a < b в X и не существует элемента с eX с условием a < с < b, то соотношение a < b называется покрытием, элемент a - предыдущим для b и b - последующим за a. Элемент цепи, у которого нет предыдущего элемента, называется предельным. Цепь называется плотной, если в ней нет покрытий; в плотных цепях между любыми элементами a < b лежит бесконечно много элементов. Подмножество A цепи X называется плотным в X, если между любыми элементами a < b из X обязательно найдется элемент из A. Цепь называется полной сверху (полной снизу), если всякое ее непустое подмножество имеет sup (соответственно, inf). Полные цепи суть цепи, полные сверху и снизу одновременно. Цепь называется условно полной сверху, если всякое ее непустое ограниченное сверху множество имеет sup. Двойственным образом определяется понятие условно полной снизу цепи, а также понятие условно полной цепи.

Упражнение 6. Докажите, что произвольная цепь полна тогда и только тогда, когда она полна сверху и имеет наименьший элемент. Сформулируйте двойственное утверждение.

Упражнения. 7. Докажите, что понятия условно полной сверху цепи, условно полной снизу цепи и условно полной цепи равносильны.

8.  Проверьте, что любая цепь является дистрибутивной решеткой.

9.  Убедитесь, что изотонная биекция одной цепи на другую есть изоморфизм данных цепей.

Сформулируем теперь три классических результата.

Теорема 5. Всякое упорядоченное множество можно линейно доупорядочить, вообще говоря, различными способами. При этом исходный порядок равен пересечению содержащих его линейных порядков.

Данная теорема доказывает существование у каждого упорядоченного множества X размерности, определяемой как наименьшая из мощностей множеств линейных порядков на X, дающих в пересечении исходный порядок.

Теорема 6. Любая счетная плотная цепь изоморфна либо цепи Q всех рациональных чисел (если в ней нет ни наименьшего, ни наибольшего элементов), либо цепи всех неотрицательных рациональных чисел (если она имеет наименьший элемент, но не имеет наибольшего элемента), либо цепи всех неположительных рациональных чисел (если имеет наибольший, но не имеет наименьшего элемента), либо цепи всех рациональных чисел отрезка [0, 1] (если обладает наименьшим и наибольшим элементами).

Следствие 1. Всякая счетная цепь изоморфно вкладывается в цепь Q.

Следствие 2. Каждая бесконечная плотная цепь содержит подцепь, изоморфную Q.

Из теоремы 2 по признаку полноты Воота вытекает следующая теоретико-модельная

Теорема 7. Теория первого порядка плотных цепей без наименьшего и наибольшего элементов полна, т. е. любая замкнутая формула данной теории либо сама доказуема, либо доказуемо ее отрицание.

Упражнение 10. Для любой цепи X справедливы следующие утверждения: плотность X равносильна отсутствию скачков в ней; условная полнота X эквивалентна отсутствию щелей в X. Проверьте.

Для цепей (в целом, для решеток) имеет место теорема Тарского - Дэвиса (1955 год).

Теорема 8. Для того чтобы цепь была полной, необходимо и достаточно, чтобы любое изотонное отображение данной цепи в себя имело неподвижную точку.


Примеры и свойства порядковых понятий изложены в [5-7, 10, 15, 16, 19-22, 24, 25, 27, 28, 36, 37]. Теорема 5 впервые доказана Шпильрайном в 1930 году; доказывается на основе аксиомы выбора [42]. Теорема 6 принадлежит Кантору; ее доказательство можно найти в [5, с. 262], [20, с. 222], а также в [17]. Доказательство теоремы 7, впервые доказанной Ленгфордом, содержится, например, в [23], теорема 4.1.3. Доказательство теоремы 8 имеется в [27, теорема 3 из § 3 и теорема 15 из § 4].

Вполне упорядоченные множества

Важнейший класс цепей образуют вполне упорядоченные множества. Они играют основополагающую роль в теории кардинальных и ординальных чисел, на их базе проводятся доказательства, определения и построения по трансфинитной индукции.

Цепь N всех натуральных чисел и конечные цепи дают примеры вполне упорядоченных множеств. Любое непустое подмножество вполне упорядоченного множества вполне упорядочено. Ясно также, что произвольное вполне упорядоченное множество условно полно.

Упражнения. 11. Найдите два других полных порядка на N.

12.  Докажите, что цепь является вполне упорядоченным множеством тогда и только тогда, когда в ней нет бесконечных (строго) убывающих последовательностей.

13.  Докажите, что бесконечное вполне упорядоченное множество, имеющее единственный предельный элемент (наименьший), изоморфно цепи N.

Из аксиомы выбора (Цермело, 1904 год) выводится следующая

Теорема 9 (теорема Цермело, 1904 год). Всякое непустое множество можно вполне упорядочить.

Ясно, что и из теоремы Цермело следует аксиома выбора. Имеется много разнообразных утверждений, эквивалентных аксиоме выбора. Из них, наряду с самой аксиомой выбора и теоремой Цермело, наиболее часто встречаются и применяются в математике следующие два предложения.

Теорема 10 (принцип максимальности Хаусдорфа, 1914 год [34]). Любая цепь произвольного упорядоченного множества содержится в некоторой его максимальной цепи.

Теорема 11 (лемма Цорна, 1935 год). Если в упорядоченном множестве каждая цепь ограничена сверху, то оно имеет максимальный элемент.

Подцепь Y цепи X называется конфинальной в X, если для любого x eX существует такой y eY, что x < y. В теории упорядоченных множеств бывает полезно следующее утверждение (например, при доказательстве достаточности в теореме 4), также вытекающее из аксиомы выбора.

Теорема 12. Всякая цепь содержит конфинальное вполне упорядоченное подмножество.

Начальным интервалом цепи X называется множество (x eX: x < a}, где a - некоторый элемент из X. Имеет место теорема о сравнении вполне упорядоченных множеств.

Теорема 13. Для любых вполне упорядоченных множеств X и Y выполняется одно и только одно из следующих утверждений:

1) 
X и Y изоморфны;

2) 
X изоморфно начальному интервалу множества Y;

3) 
Y изоморфно начальному интервалу множества X.

Тот факт, что осуществляется один из указанных случаев, доказывается по трансфинитной индукции. А тот факт, что одновременно никакие два из этих трех случаев не выполняются, вытекает из следующего утверждения:

Упражнение 14. Если f - произвольное изоморфное отображение вполне упорядоченного множества X в себя, то x < fx) для всех x eX.

Элементы вполне упорядоченных множеств называют трансфинитами и/или ординалами, а также трансфинитными или ординальными числами. Теоремы 9 и 13 позволяют развить теорию мощностей (кардиналов) множеств.

Формулировку аксиомы выбора и доказательства теорем 9-13 можно найти в [27]. Теория кардинальных и порядковых чисел излагается в [1, 2, 7, 8, 17, 20, 21, 27, 34].

Линейно упорядоченные пространства

Зададим интервальную топологию на произвольной цепи X. Для этого наряду с начальными интервалами в X определяются финальные интервалы - это множества {x eX: a < x}, a eX, и открытые интервалы (a, Ъ) = {x eX: a < x < Ъ} с концами a < Ъ из X.

Определение 8. Пусть (X, <) - цепь. Открытые, начальные и финальные интервалы и X образуют базу топологии на X, называемой интервальной топологией. Множество X с интервальной топологией на нем называется линейно упорядоченным пространством.

Теорема 14. Любое линейно упорядоченное пространство (хаусдорфово) наследственно нормально.

Теорема 15. Компактность линейно упорядоченного пространства X эквивалентна полноте цепи X.

Следствие 1. Условная полнота произвольной цепи эквивалентна компактности всех ее отрезков.

Следствие 2. Вполне упорядоченное множество компактно в интервальной топологии тогда и только тогда, когда оно обладает наибольшим элементом.

Напомним, что элементы a < Ъ цепи X определяют отрезок [a, Ъ] = {x eX: a < x < Ъ} в X с концами a и Ъ. Очевидно, что пересечение любых двух пересекающихся отрезков цепи также является отрезком.

Теорема 16. Связность линейно упорядоченного пространства X равносильна тому, что цепь X плотна и условно полна.

Упражнение 15. Покажите, что для дискретности линейно упорядоченного пространства X необходимо и достаточно, чтобы каждый ненаименьший элемент цепи X имел предыдущий элемент, а каждый ненаибольший ее элемент имел последующий элемент.

Топологическое пространство называется сепарабельным, если оно обладает счетным всюду плотным подмножеством.

Упражнение 16. Сепарабельность линейно упорядоченного пространства X эквивалентна существованию в цепи X счетного плотного в X подмножества. Докажите. Такую цепь также будем называть сепарабельной.

Упражнение 17. Докажите, что топология подпространства Y линейно упорядоченного пространства, вообще говоря, сильнее интервальной топологии цепи Y. Приведите соответствующий пример.

Интервальная топология такая же естественная, как и метрическая. Разнообразные факты о линейно упорядоченных пространствах содержатся в задачах к главам книги [37]. Доказательство теоремы 14 (Биркгоф, 1948 год) имеется в [1, с. 183] и в [5, с. 315]. Теорема 15 (Кёниг, Хаар, 1910 год) приведена с доказательством в [1, с. 248] и в [5, с. 315]. Доказательство теоремы 16 можно найти в [5, с. 316].

Дискретные цепи

Выясним строение дискретных цепей.

Дискретные цепи удовлетворяют достаточному условию упражнения 10 и как линейно упорядоченные пространства также дискретны. Однако, если взять цепь, состоящую из нескольких расположенных друг за другом экземпляров цепи Z, то получим недискретную цепь, удовлетворяющую указанному достаточному условию.

Теорема 17. Каждая дискретная цепь X изоморфна одной из следующих подцепей цепи Z целых чисел:

отрезку {1, 2, n}, когда X конечно или имеет наименьший и наибольший элементы;

натуральному ряду N, когда X обладает наименьшим элементом, но не имеет наибольшего элемента;

упорядоченному множеству всех отрицательных целых чисел, когда X обладает наибольшим элементом, но не имеет наименьшего элемента;

самой цепи Z, когда X не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элементов.

Доказательство. Предположим сначала, что дискретная цепь X имеет наименьший элемент a1. Если X не одноэлементна, то для a1 существует последующий элемент a2. Продолжая процесс, получим цепочку A покрытий a1 < a2 < ... < an < ... . Если X конечно и имеет n элементов, то эта цепочка обрывается на n-м месте и, стало быть, цепь X изоморфна отрезку {1, 2, ..., n} натуральных чисел. Если X бесконечна, то A изоморфна N. Легко видеть, что X совпадает с цепочкой A: в самом деле, если множество B = XA непусто, то получаем скачок (A, B), откуда следует, что цепь A имеет наибольший элемент, что невозможно.

Случай, когда цепь X имеет наибольший элемент, но не имеет наименьшего элемента, двойственен только что рассмотренному случаю: X изоморфна цепи всех отрицательных целых чисел.

Наконец, если цепь X не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элементов, то начиная с любого ее элемента a0, мы получим (как и выше) цепочку ... < a-m < ... < а-2 < а_1 < а0 < а1 < а2 < ... < ап < ... , совпадающую с X и изоморфную Z.

Упражнение 18. Докажите, что цепь дискретна тогда и только тогда, когда между любыми ее элементами a < b существует конечная цепь с концами a и b, каждая пара соседних элементов которой есть покрытие.

Непрерывные цепи

Понятие непрерывности числовой прямой может быть выражено по-разному. Рассмотрим соответствующие подходы.

Цепь называется полной по Дедекинду, если все ее сечения дедекиндовы. Цепь называется непрерывной по Вейерштрассу, если она условно полна и плотна.

Далее, непустое множество S отрезков цепи назовем центрированным, если пересечение любых двух из них снова принадлежит S. Например, каждое непустое множество вложенных друг в друга отрезков произвольной цепи будет центрированным. Скажем, что цепь удовлетворяет принципу Кантора, если любое центрированное множество ее отрезков имеет непустое пересечение (общую точку). Плотную цепь, удовлетворяющую принципу Кантора, назовем непрерывной по Кантору.

Теорема 18. Для произвольной цепи X эквивалентны следующие условия:

1) 
X непрерывна по Вейерштрассу;

2) 
X полна по Дедекинду;

3) 
X непрерывна по Кантору;

4) 
линейно упорядоченное пространство X связно;

5) 
цепь X плотна, и все отрезки в X компактны.

Доказательство. Эквивалентность условий 1), 4) и 5) отмечена в

теореме 12 и следствии 1 теоремы 11. Поэтому достаточно доказать цепочку импликаций 1) ^ 3) ^ 2) ^ 1).

1)^3). Пусть цепь X непрерывна по Вейерштрассу и S - некоторое центрированное множество ее отрезков. Множество A всех левых концов отрезков из S ограничено сверху правым концом каждого такого отрезка. Получаем, что sup A принадлежит любому отрезку из S.

3)^2). Пусть цепь X непрерывна по Кантору и (A, B) - произвольное сечение X. Рассмотрим множество всевозможных отрезков [a, b], где aeA и beB. Оно центрированное. Значит, существует элемент ceX, лежащий в каждом из наших отрезков. Очевидно, с есть рубеж сечения (A, B).

2)^1). Пусть цепь X полна по Дедекинду и Y - какое-то непустое ограниченное сверху подмножество X. Возьмем множество B всех верхних граней множества Y и положим A = XB. Сечение (A, B) имеет единственный рубеж, являющийся sup A.

Определение 9. Цепь, удовлетворяющую одному из эквивалентных условий предыдущей теоремы, назовем просто непрерывной.

Теорема 19. Всякую цепь можно вложить в непрерывную цепь с сохранением всех имеющихся в ней точных граней (inf и sup).

Теорема 20. Всякая сепарабельная непрерывная цепь без наименьшего и наибольшего элементов изоморфна цепи R.

Следствие. Любая сепарабельная цепь изоморфно вкладывается в цепь R.

Упражнение 19. Опишите с точностью до изоморфизма все сепарабельные непрерывные цепи.

Покажем, что в теореме 20 условие сепарабельности существенно. Для этого возьмем декартов квадрат R2 числовой прямой с лексикографическим порядком: (a; b) < (с; d) означает, что a < с или b < d в случае a = с. Полученная цепь непрерывна, не имеет наименьшего и наибольшего элементов, но не сепарабельна.

Упражнение 20. Докажите, что лексикографическое произведение двух непрерывных цепей снова будет непрерывной цепью.

Теорема 19 доказана еще Дедекиндом в 1881 году (см. [20, с. 218]). Доказательство теоремы 20 имеется в [1, с. 56] (см. также [17]).

Приложение к числовым системам

Классические числовые объекты N, Z, Q и R мы хорошо знаем интуитивно (N), содержательно (скажем, R как множество бесконечных десятичных дробей, см. [7]) или аксиоматически. Для N существует аксиоматика Пеано. Системы Z и Q - это минимальные кольцо и поле, содержащие в качестве подсистем N и Z соответственно. В теории числовых систем R обычно определяется как непрерывное линейно упорядоченное поле.

Оказывается, основные числовые системы можно определить только на порядковой основе: как цепи с дополнительными свойствами. С учетом теорем 17, 6 и 20 (соответственно) получаются следующие определения.

Определение 10. Системой N натуральных чисел называется (любая) дискретная цепь, имеющая наименьший элемент, но не имеющая наибольшего элемента.

Определение 11. Системой Z целых чисел называется дискретная цепь без наименьшего и наибольшего элементов.

Определение 12. Системой Q рациональных чисел называется счетная плотная цепь без наименьшего и наибольшего элементов.

Определение 13. Системой R действительных чисел называется сепарабельная непрерывная цепь, не имеющая ни наименьшего, ни наибольшего элемента.

Замечание. Отправляясь от этих «цепных» определений, на N, Z, Q и R можно ввести арифметические операции и развить их стандартную теорию. На N операции сложения и умножения определяются индуктивно. А Z идентифицируется как «двусторонний натуральный ряд». Далее, Q отождествляется с линейно упорядоченным полем частных полученного кольца Z, а R - с линейно упорядоченным полем сечений Q.

В заключение сформулируем еще несколько предложений.

Упражнение 21. Докажите, что для бесконечного упорядоченного множества X равносильны условия:

1)  X изоморфно N;

2)  X - вполне упорядоченное множество, каждое ограниченное сверху подмножество которого конечно;

3)  X - вполне упорядоченное множество, каждое ограниченное сверху подмножество которого имеет наибольший элемент.

См. также Приложение I.

Упражнение 22. Убедитесь в том, что цепь изоморфна Z тогда и только тогда, когда все ее финальные интервалы изоморфны N, а все начальные интервалы антиизоморфны N.

Упражнение 23. Почему каждый открытый интервал цепи Q изоморфен Q?

Упражнение 24. Докажите, что для цепи X без наименьшего и наибольшего элементов эквивалентны утверждения:

1)  X изоморфна R;

2)  X плотна, сепарабельна, и любая последовательность вложенных отрезков в X имеет непустое пересечение.

Упражнение 25. Докажите, что линейно упорядоченное поле P изоморфно полю R с обычным порядком тогда и только тогда, когда P архимедово и все фундаментальные последовательности в нем являются сходящимися.

5. Решетки

Порядковое и алгебраическое определения решетки

Определение 14. Упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют точные нижнюю и верхнюю грани, называется решеткой.

На любой решетке L зададим бинарные операции сложения + и умножения • формулами:

a+b = sup(a, b) и ab = ab = inf(a, b).                    (*)

Получаем алгебру < L, +, •), в которой выполняются следующие четыре пары тождеств:

1)  a+b = b+a, ab = ba (коммутативность операций);

2)  (a+b)+c = a+(b+c), (ab)c = a(bc) (ассоциативность);

3)  a+a = a, aa = a (идемпотентность);

4)  a+ab = a, a(a+b) = a (законы поглощения).

Упражнение 26. Докажите, что полученная алгебра < L, +, •) действительно обладает свойствами 1)-4).

Определение 15. Алгебра < L, +, •) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения •, удовлетворяющими условиям 1)-4) как аксиомам, называется решеткой.

Определение 14 является порядковым определением решетки, а определение 15 - алгебраическим.

Пусть дана решетка < L, +, •) в алгебраическом смысле. Введем на L бинарное отношение < по формуле:

a < b означает a+b = b (эквивалентно, ab = a). (**)

Упражнение 27. Проверьте, что введенное отношение < является порядком на L, причем, sup(a, b) = a+b и inf(a, b) = ab для любых a, be L. Следовательно, определение (**) превращает решетку < L, +, •} в решетку ( L, <} в порядковом смысле.

Упражнение 28. Покажите, что переходы (*) и (**) осуществляют взаимно однозначное соответствие между решетками в смысле определений 14 и 15 (на любом множестве L).

Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что любая решетка есть алгебраическая система < L, +, •, }, обладающая как порядком <, так и операциями + и •, которые связаны соотношениями (#), и 1)-4).

Если из m-элементной решетки (т > 3) выбросить наименьший и наибольший элементы, то получим (т-2)-элементное упорядоченное множество. Таким образом можно построить все конечные решетки.

Приведем диаграммы Хассе всех решеток мощности т = 4 и 5. (При m < 3 получаем одно-, двух - и трехэлементные цепи.)

т = 4

диамант пентагон

1

Шестиэлементные решетки получаются из четырехэлементных упорядоченных множеств добавлением «новых» наименьшего и наибольшего элементов. При этом мы имеем 15 решеток из 16 «возможных». Дело в том, что выделенное на с. 393 четырехэлементное множество дает изображенное справа

упорядоченное множество X, не являющееся решеткой. Его элементы a, b не обладают точной верхней гранью в X, так как множество их верхних граней (с, d, 1} не имеет наименьшего элемента.

Упражнения. 29. Постройте диаграммы Хассе всех 15 шестиэлементных решеток.

30.  Докажите, что в решетках неравенства можно почленно складывать и умножать: a < b и с < d влекут a+с < b+d и ac < bd.

31.  Убедитесь, что в любой решетке выполняется тождество

(ab+ac)(ab+bc) = ab.

32.  Покажите, что в произвольной решетке верны неравенства

ab+ac < a(ab+c) < a(b+c).

33.  Наименьший элемент решетки обычно называется нулем и обозначается 0, а наибольший элемент решетки часто называется единицей и обозначается 1. Докажите, что нулевой элемент 0 (единичный элемент 1) произвольной решетки, если он существует, определяется любым из тождеств 0a = 0, 0+a = a (соответственно: 1a = a, 1+a = 1).

Как и для любых однотипных алгебр, для решеток естественным образом определяются понятия подрешетки, конгруэнции, факторрешетки, гомоморфизма и прямого произведения.

Полные решетки и неподвижные точки

Определение 16. Полной решеткой называется упорядоченное множество, в котором любое непустое подмножество имеет точные верхнюю и нижнюю грани.

Любая полная решетка L является решеткой с 0 = inf L и 1 = sup L.

Укажем основные примеры полных решеток:

1)  числовые отрезки [r, s], где r, se R и r < s;

2)  булеаны B(M) для произвольных множеств M;

3)  конечные решетки;

4)  решетка < No, I} всех неотрицательных целых чисел с отношением делимости I;

5)  решетка всех подалгебр любой алгебры относительно с;

6)  решетка всевозможных конгруэнций на произвольной алгебре с отношением включения;

7) решетка всех открытых (замкнутых) множеств произвольного топологического пространства.

Говорят, что отображение f: X ^ X множества X в себя имеет неподвижную точку x0e X, если f(x0) = x0. В теории упорядоченных множеств изучаются неподвижные точки изотонных отображений упорядоченных множеств и решеток. В дополнение к теореме 8 докажем теорему Тарского о неподвижной точке:

Теорема 21. Всякое изотонное отображение f любой полной решетки L в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Доказательство. Рассмотрим в L подмножество

А = {xe L: x <f(x)}.

Положим x0 = sup А. Поскольку 0e А, то sup А существует. Покажем, что f(x0) = x0. Так как x < x0 для всех xe А, то и x < f(x) < f(x0) для всех xe А. Поэтому f(x0) - верхняя грань множества А, и x0 < f(x0). Откуда f(x0) < ffx)), т. е. f(x0)e А. Значит, иf(x0) < x0.

Заметим, что x0 является наименьшей неподвижной точкой отображения f. Наибольшая неподвижная точка x1 отображения f получается двойственным способом:

x1 = inf В для B = {xe L: x >f(x)}.

Множество Ff) всех неподвижных точек отображения f совпадает с пересечением АпВ.

Упражнение 34. Покажите, что множество F(f) не обязано быть подрешеткой решетки L.

Отметим также, что для решеток верна теорема, обратная теореме Тарского (Дэвис, 1955 год).

Упражнение 35. В классе упорядоченных множеств теорема Дэвиса неверна. Приведите соответствующий пример.

Теорема 22 (С. Р. Когаловский, 1982 год). Для того чтобы подмножество F полной решетки L было множеством всех неподвижных точек некоторого изотонного отображения f: L ^ L, т. е. F = F(f), необходимо и достаточно, чтобы F было полной решеткой относительно индуцированного порядка.

Подчеркнем, что теоремы о неподвижных точках занимают важное место в современной математике (см. [35]).

Упражнение 36. Докажите, что любое непрерывное отображение числового отрезка в себя имеет неподвижную точку. Это частный случай знаменитой теоремы Брауэра.

Дистрибутивные решетки

Определение 17. Решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняется тождество a(b+c) = ab+ac.

Класс всех дистрибутивных решеток, как и класс всех решеток, образует многообразие алгеб с двумя бинарными операциями. Более широкое многообразие образуют модулярные решетки, в которых выполняется модулярное тождество (вместо дистрибутивного тождества) a(ab+c) = ab+ac.

Теорема 23. Произвольная решетка дистрибутивна тогда и только тогда, когда любая ее подрешетка не изоморфна ни Пентагону, ни диаманту.

Наряду с этой характеризацией существуют другие полезные критерии дистрибутивности произвольной решетки:

1.  Дистрибутивность решетки эквивалентна выполнению в ней двойственного дистрибутивного закона: (a+b)(a+c) = a+bc.

2.  Решетка дистрибутивна тогда и только тогда, когда для любых ее элементов a, b и c имеем: a+b =
a+c и ab = ac влекут b = c.

3.  Дистрибутивность решетки равносильна выполнению в ней тождества: (a+b)(a+c)(b+c) = abc.

Покажем, например, что дистрибутивная решетка L удовлетворяет свойству 2. Пусть a+b = a+c и ab = ac для некоторых a, b, c из L. Тогда

b = b(a+b) = b(a+c) = ab+bc = ac+bc = c(a+b) = c(a+c) = с.

Упражнение 37. Докажите критерии дистрибутивности 1-3.

Сформулируем важные понятия идеала и фильтра решетки.

Непустое подмножество I решетки L называется ее идеалом, если I замкнуто относительно операции сложения (a, be I ^ a+be I) и выдерживает умножение на элементы решетки (ae I, be L ^ abe I). Второе условие означает, что вместе с каждым своим элементом a идеал должен содержать и все меньшие a элементы решетки. Идеал

aL = (a] = (xe L: x < a}

решетки L называется главным идеалом в L, порожденным элементом ae L.

Дуальным образом определяется фильтр. Непустое подмножество F решетки L называется ее фильтром, если оно замкнуто относительно операции умножения (a, be F ^ abe F) и выдерживает прибавление элементов решетки (ae F, be L ^ a+be F). Последнее условие означает, что вместе с каждым своим элементом a фильтр содержит и все большие a элементы решетки. Фильтр решетки L

[a) = (xe L: х > a}, ae L,

называется главным фильтром в L, порожденным элементом a.

Предположим, что p - такая конгруэнция на решетке L, что факторрешетка L/p имеет нуль. Прообраз нуля при каноническом гомоморфизме L ^ L/p называется ядерным идеалом решетки L. Двойственным образом определяется ядерный фильтр решетки.

Упражнение 38. Дайте определение ядерного фильтра. Докажите, что ядерный идеал (ядерный фильтр) любой решетки является ее идеалом (соответственно, фильтром).

Теорема 24. Дистрибутивность произвольной решетки L эквивалентна тому, что любой ее идеал (равносильно, фильтр) является ядерным идеалом (соответственно, ядерным фильтром) некоторой конгруэнции на L.

Собственный идеал I (фильтр F) решетки L называется простым, если abe I влечет ae I или be I (из a+be F следует ae F или be F). Напомним, что подмножество множества L называется собственным, если оно не совпадает с самим L.

Обозначим через D = (0, 1} двухэлементную цепь.

Упражнение 39. Покажите, что для любого подмножества I произвольной решетки L равносильны следующие свойства:

1)  I - простой идеал решетки L;

2)  I - идеал, а L1 - фильтр решетки L;

3)  LM - простой фильтр в L;

4)  I есть прообраз нуля 0 при гомоморфизме L на D;

5)  LM - прообраз 1 при гомоморфизме L на D.

Важнейшим свойством дистрибутивных решеток является тот факт, что в них простые идеалы разделяют элементы.

Предложение 5. В произвольной дистрибутивной решетке L для любых идеала I и фильтра F, не пересекающегося с I, существует простой идеал P, для которого I сР и PnF = 0. При этом простой фильтр LP содержит фильтр F и не пересекается с идеалом I.

Доказательство. Рассмотрим множество M всех тех идеалов J дистрибутивной решетки L, которые содержат данный идеал I и не пересекаются с данным фильтром F. Получаем упорядоченное множество <, с}, замкнутое относительно объединений цепей идеалов. По лемме Цорна в M существует максимальный элемент Р. Докажем, что идеал P - простой. Для этого достаточно показать, что ab не лежит в Р при любых a, b£ Р. Пусть a, be LP. Тогда идеалы aL+P и bL+P строго содержат P. В силу максимальности идеала P они пересекаются с фильтром F. Поэтому ax+p, by+q e F при некоторых x, ye L и p, qe P. Значит, F содержит и произведение этих элементов

(ax+p)(by+q) = abxy+axq+pbx+pq.

Поскольку все слагаемые правой части этого равенства - кроме первого слагаемого abxy - принадлежат идеалу P, а сумма не принадлежит P, то abxy£ P, откуда и ab£ P. В силу упражнения 39 предложение доказано.

Из этого предложения следует ряд теорем о дистрибутивных решетках принципиального характера. Так, сразу получается импликация 2) ^ 1) упражнения 39.

Максимальный идеал решетки - это максимальный элемент упорядоченного множества всех собственных идеалов данной решетки, рассматриваемого с отношением включения с.

Теорема 25. Любой собственный идеал дистрибутивной решетки с 1 содержится в некотором ее максимальном идеале.

Теорема 26. Всякий максимальный идеал дистрибутивной решетки с 1 является простым.

Теорема 27. Если в дистрибутивной решетке L неверно, что a <b, то в L найдется такой простой идеал P, что be P, но a£ P.

Действительно, идеал (b] не пересекается с фильтром [a). Остается применить предложение 5. Теорема 27 как раз и утверждает, что различные элементы дистрибутивной решетки разделяются простыми идеалами этой решетки.

Теорема 28. Любая дистрибутивная решетка L изоморфна подрешетке прямого произведения двухэлементных цепей D.

Доказательство. Пусть S = Spec L - множество всех простых

l sl

идеалов дистрибутивной решетки L. Зададим отображение f: L — D решетки L в прямое произведение Isl экземпляров цепи D формулой:

f (a)( P)

0, если a e P

для любых ae L и Pe S. 1, если a € P

В силу теоремы 27 получаем искомое изоморфное вложение f.

Замечание. «Строка» f(a), ae L, является характеристической функцией подмножества {Pe S: a€ P} множества S. Поэтому теорема 28 утверждает (Г. Биркгоф), что произвольная дистрибутивная решетка изоморфна подрешетке булеана B(S). Отображение

fP: L — D, fP(a) = f(a)(P) для всех ae L,

является решеточным гомоморфизмом, называемым характером дистрибутивной решетки L, отвечающим ее простому идеалу P.

Иллюстрация.                       Продемонстрируем

применение теоремы 28 на примере следующей шестиэлементной дистрибутивной решетки L. В конечной решетке все идеалы главные. Легко видеть, что L имеет три простых идеала P = (a], M = (с], N = (d], причем идеалы M и N являются максимальными. Обозначим S = {P, M, N}. Тогда

f: L — Ds = DxDxD,                                              ^0

именно, f(0M0, 0, 0), f(a)=(0, 0, 1), f(b)=(1, 0, 0), Дс)=(1, 0, 1), f(d)=(1, 1, 0) и f( 1 )=( 1, 1, 1). Кроме того, решетка L служит прямым произведением D на трехэлементную цепь C3 = {0, a, 1}, точнее, L = DxC3 при естественном изоморфизме: 0^(0, 0), a^(1, 0), b^(0, a), с—^(1, a), d^(0, 1) и 1^(1, 1).

Решетка с 0 и 1 называется ограниченной. Если в ограниченной решетке a+b = 1 и ab = 0, то элементы a и b называются дополнениями друг друга. Как следует из критерия 2 дистрибутивности, в ограниченных дистрибутивных решетках каждый элемент имеет не более одного дополнения. В частности, поэтому диамант и пентагон не дистрибутивны.

Упражнение 40. Дайте пример ограниченной модулярной решетки, в которой существует элемент с бесконечным множеством дополнений.

Ненулевой элемент p решетки L с 0 называется ее атомом, если (Р] = (0,p}. Атомы решетки L с 0 - это в точности минимальные элементы упорядоченного множества L{0} с индуцированным порядком. Решетка с 0 называется атомной, если для любого ее ненулевого элемента a существует атом > a. Очевидно, что конечные решетки атомны.

Упражнение 41. Пусть p - ненулевой элемент решетки L с 0. Докажите, что p есть атом L ^ pa = 0 или pa = p для всех ae L.

Упражнение 42. Приведите пример ограниченной дистрибутивной решетки, не имеющей атомов.

Дистрибутивным решеткам посвящены части известных книг [5], [16], [27].

Булевы решетки

Определение 18. Ограниченная дистрибутивная решетка с 1^0, в которой каждый элемент имеет дополнение, называется булевой решеткой.

Примеры. 1. Пусть M - произвольное непустое множество. Тогда булеан есть булева решетка с операциями и и п и порядком с, причем дополнением любого элемента Ae M, т. е. подмножества A множества M, служит его теоретико-множественное дополнение MA. Булеан B(M) изоморфен прямому произведению D ImI экземпляров цепи D.

2.  Рассмотрим множество B всех конечных множеств натуральных чисел и дополнений до них в N (коконечных множеств). Относительно включения множеств с множество B будет счетной булевой решеткой - подрешеткой булеана B(N).

3.  Если (X, - пространство с вещественной мерой, то множество всех ^-измеримых множеств в X является булевой решеткой - подрешеткой булеана B(X).

4.  Рассмотрим алгебру (пропозициональных) высказываний A с операциями дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Ее элементами служат формулы логики высказываний. Отношение = равносильности высказываний является конгруэнцией на алгебре A. Соответствующая
факторалгебра A/=, называемая алгеброй Линденбаума, является булевой решеткой. В ней [Р] < [Q] означает, что P^Q - тавтология, т. е. P^Q = 1 (истина). Дополнением к [Р] будет класс []Р] отрицания высказывния P.

Пусть L - произвольная булева решетка. Каждый ее элемент a обладает единственным дополнением, которое будем обозначать a*. Булевы решетки обладают следующими свойствами:

(1) 0' = 1, 1' = 0.

(2)  a" = a.

(3)  a < b ^ b' < a* ^ a'+b = 1 ^ ab' = 0.

(4)  (a+b)' = a'b', (ab)* = a'+b* (законы де Моргана).

(5)  a+a* = 1, aa* = 0.

Упражнение 43. Проверьте эти свойства.

Теорема 29 (см. [16, глава II] и [27, § 7]). Для любой дистрибутивной решетки L с 1^0 эквивалентны следующие утверждения:

1) 
L булева;

2) 
все простые идеалы решетки L максимальны;

3) 
всякий идеал решетки L является ядерным идеалом ровно одной конгруэнции на L;

4) 
любые две конгруэнции на решетке L перестановочны. Изобразим диаграммы Хассе трех первых (по мощности) булевых

решеток:

D

1

2

В решетке D элементы a и a являются атомами. Атомы a, b, с

решетки D3 располагаются на втором уровне диаграммы, а их дополнения a', b с* - на третьем уровне.

Булевой алгеброй называется алгебра < L, +, •, *, 0, 1} с двумя бинарными операциями +, •, унарной операцией • и константами 0, 1, такими, что: во-первых, ( L, +, •} - дистрибутивная решетка с нулем 0 и единицей 1; во-вторых, имеет место (5). Фактически булевы алгебры и булевы решетки представляют собой одни и те же математические объекты. Только булевы решетки не образуют многообразие, а булевы алгебры образуют.

Можно также определить булевы алгебры как кольца. Именно, кольцо с ненулевой единицей 1 называется булевым, если оно удовлетворяет тождеству идемпотентности xx = x.

Упражнение 44. Докажите, что любое булево кольцо коммутативно и имеет характеристику 2 (x+x = 0 тождественно).

(*) Пусть L - булева алгебра. Определим в L новую операцию сложения: a©b = a'b+ab'. А операцию умножения сохраним. В результате получим булево кольцо < L, ©, •}.

(**) Обратно, пусть дано булево кольцо < L, ©, •}. Оно имеет нулевой элемент 0 и единицу 1. Операции сложения + и «дополнения» • на L определяются следующим образом: a+b = a©b©ab и a* = a+1. И мы получаем булеву алгебру < L, +, •, ", 0, 1}.

Теорема 30. Переходы (*) и (**) осуществляют взаимно однозначное соответствие между классом всех булевых алгебр и классом всевозможных булевых колец.

Докажем далее теорему Стоуна о строении конечных булевых решеток.

Теорема 31. Любая конечная булева решетка L изоморфна булеану B(A), где A - множество всех ее атомов.

Доказательство. Пусть A - множество всех атомов конечной булевой решетки L. Установим изоморфизм между решетками L и B(A), сопоставив каждому элементу xe L подмножество в A:

f(x) = (ae A: a< x}.

Сразу заметим, что f(0) = 0 и f(1) = A. Покажем, что f является биекцией L на B(A). Возьмем в L элементы x Ф y. Тогда одно из соотношений x < y или у < x неверно. Можно считать, что неверно x < у. По свойству (3) булевых решеток ху' Ф 0. В силу атомности конечной решетки L в ней найдется такой атом a, что a < ху*. Имеем a < х и a < у*, откуда ae fx) и ay = оу'у = a0 = 0. Последнее означает, что a£ f( у). Поэтому fx) Фf( у). Инъективность отображения f доказана.

Для проверки сюръективности f возьмем произвольное непустое множество B = (a1, ..., ak} атомов решетки L. Нужно найти элемент be L, для которого f(b) = B. Положим b = a1+.+ak. Ясно, что B сf(b). Если ae f(b), т. е. a < b, то a = a(a1+.+ak) = aa1+.+aak. Отсюда следует, что атом a сопадает с одним из атомов ai, иначе aa1+.+aak = 0. Поэтому и f(b) с B, т. е. f(b) = B.

Наконец, если x < у, то f(x) с f( у) по определению отображения f. И если f(x) с Д(у) для x, ye L, то по доказанному x = Xf(x) < ХД(у) = у. Следовательно, f является (порядковым) изоморфизмом решеток L и B(A), что завершает доказательство теоремы.

Замечание. Из теоремы 31 следует, что любая конечная булева

решетка имеет 2n элементов, где n - число ее атомов. Эта теорема - с

точностью до изоморфизма - описывает также конечные булевы

алгебры и конечные булевы кольца. Именно, конечные булевы алгебры

/

исчерпываются булеанами ( B(A), и, п, , 0, A} всевозможных непустых конечных множеств A. Конечные же булевы кольца имеют вид ( B(A), ©, п>, где A - непустое конечное множество и © обозначает операцию симметрической разности: B©C = (BuC)(BnC) при B, C с A.

Теорема 32 (решеточная характеризация булеанов). Булева решетка L изоморфна булеану B(A) (равносильно, DA) для некоторого непустого множества A тогда и только тогда, когда L полна и атомна.

Теория булевых решеток и булевых алгебр излагается в монографиях [5], [16], [25], [27], [39]. Булевы кольца рассматриваются в специальной книге Абиана [38] и больших статьях Стоуна [40] и [41].

Литература

1.  Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: Наука, 1977.

2.  Архангельский А.В. Канторовская теория множеств. - М.: Изд-во МГУ, 1988.

3.  Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. - М.: Наука, 1974.

4.  Беран Л. Упорядоченные множества. - М.: Наука, 1981.

5.  Биркгоф Г. Теория решеток. - М.: Наука, 1984.

6.  Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. - М.: Мир, 1976.

7.  Брудно А.Л. Теория функций действительного переменного. Избранные главы. - М.: Наука, 1971.

8.  Бурбаки Н. Теория множеств. - М.: Мир, 1965.

9.  Варанкина В.И., Вечтомов Е.М. Линейно упорядоченные множества // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. 2002. Вып. 4. - С. 16-27.

10. Вечтомов Е.М. Теория решеток. - Киров: Изд-во КГПИ, 1995.

11.  Вечтомов Е.М. Дистрибутивные решетки, функционально представимые цепями // Фундаментальная и прикладная математика (МГУ). 1996. Т. 2. №1. - С. 93-102.

12. Вечтомов Е.М. Упорядоченные множества с диаграммой Хассе // Вестник ВятГГУ. 2002. №6. - С. 13-15.

13.  Вечтомов Е.М., Варанкина В.И. Упорядоченные множества с конечным условием минимальности // Вестник ВятГПУ. 2000. № 3-4. - С. 11-12.

14. Глухов М.М., Стеллецкий И.В., Фофанова Т.С. Теория структур // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. 1968. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1970. - С. 101-154.

15.  Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика. - М.: Учпедгиз, 1959.

16.  Гретцер Г. Общая теория решеток. - М.: Мир, 1982.

17.  Гордон Е.И, Полотовский Г.М. Мощность бесконечных множеств: Учебное пособие. - Н. Новгород: Нижегород. гос. ун-т, 1998.

18.  Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т. 2. - М.: Мир, 1972.

19.  Коробков С.С. Введение в теорию решеток: Учебное пособие по спецкурсу. - Екатеринбург: Урал. гос. пед. ун-т, 1996.

20.  Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. - М.: Мир,

1970.

21.  Общая алгебра / Под общ. ред. Л.А. Скорнякова. - М.: Наука, 1990. - Т.1; 1991. - Т.2.

22.  Оре О. Теория графов. - М.: Наука, 1980.

23.  Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. - М.: Наука, 1967.

24.  Салий В.Н. Лекции по теории решеток. - Саратов: Саратов. гос. ун-т, 1970.

25.  Сикорский Р. Булевы алгебры. - М.: Мир, 1969.

26.  Скорняков Л.А. Теория структур // Итоги науки. Алгебра. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1966. - С. 237-274.

27.  Скорняков Л.А. Элементы теории структур. - М.: Наука, 1982.

28.  Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. - М.: Мир, 1990.

29.  Упорядоченные множества и решетки: Межвуз. науч. сб. - Вып. 3. - Саратов: Саратов. гос. ун-т, 1975.

30.  Упорядоченные множества и решетки: Межвуз. науч. сб. - Вып. 7. - Саратов: Саратов. гос. ун-т, 1983.

31.  Упорядоченные множества и решетки. - Братислава: Univerzita Komenskeho, 1985 (на русском языке).

32.  Упорядоченные множества и решетки. II. - Братислава: Univerzita Komenskeho, 1988 (на русском языке).

33.  Феферман С. Числовые системы. - М.: Наука, 1971.

34.  Хаусдорф Ф. Теория множеств. - М.; Л.: ОНТИ, 1937.

35.  Шашкин Ю.А. Неподвижные точки. - М.: Наука, 1989.

36.  Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. - М.: Наука,

1971.

37.  Энгелькинг Р. Общая топология. - М.: Мир, 1986.

38.  Abian A. Boolean rings. - Boston: Branded Press, 1976.

39.  Stone M. The theory of representations the Boolean algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1936. V. 40. - P. 37-111/

40.  Stone M. Applications of the theory of Boolean rings to general topology // Trans. Amer. Math. Soc. 1937. V. 41. № 3. - P. 375-481.

41.  Stone M. Algebraic characterization of special Boolean rings // Fund. Math. 1937. V. 29. - P. 223-303.

42.  Rosenstein J.G. Linear orderings. - New York: Academic Press,

1982.

VI. Метрика и топология

Семь раз отмерь - один отрежь.

Русская пословица

Введение

Мы напомним и проанализируем фундаментальные понятия метрического и топологического пространства. Абстрактные метрические пространства были введены в математику французом Морисом Фреше в 1906 году. К тому времени был накоплен значительный математический материал, связанный с классическим анализом и геометрией. Немецкие математики Карл Вейерштрасс, Георг Кантор и Рихард Дедекинд создали строгие основания математического анализа. На этой почве возникла и стала активно развиваться теория функций действительного переменного (французские математики Эмиль Борель, Рене Бэр, Анри Лебег). Кантор построил теорию множеств, которая в качестве четкого универсального языка как нельзя лучше оказалась приспособленной для определения и изучения абстрактных математических структур.

Немецкий математик Феликс Хаусдорф в 1914 году в своей книге «Теория множеств» (см. перевод [13]) впервые ввел в рассмотрение понятие отделимого топологического пространства. Отделимые пространства в дальнейшем получили название хаусдорфовых пространств. Тем самым было положено начало новой математической науке - общей топологии. По-видимому, сам термин «общая топология» впервые использовал в 1937 году американский математик Маршалл Стоун (в названии своего знаменитого труда [17]). Впервые общее определение топологического пространства дано в 1922 году польским математиком Казимиром Куратовским с помощью оператора замыкания. В 1925 году создатель московской топологической школы Павел Сергеевич Александров дал определение топологического пространства через открытые множества, а в 1927 году польский математик Вацлав Серпинский - через замкнутые множества. Общее понятие топологического пространства лежит в основе современной топологии и математики в целом. Топологические пространства образуют один из трех типов фундаментальных структур математики (наряду с алгебраическими и порядковыми структурами); такой подход исповедовала знаменитая группа французских математиков, объединенная под именем Никола Бурбаки. См. их прекрасную методологическую статью «Архитектура математики» [5, с. 245-259], впервые опубликованную в 1948 году.

1. Метрические пространства

Метрическое пространство (термин Хаусдорфа) - это множество с заданной на нем метрикой. Понятие метрики аксиоматизирует понятие расстояния между точками обычного трехмерного пространства.

Определение 1. Метрическим пространством называется произвольная пара < X, р), состоящая из множества X и отображения р: XxX — R+, сопоставляющего каждой упорядоченной паре (х, у) элементов множества X неотрицательное действительное число р(х, у) так, что выполняются следующие три аксиомы (Vx, у, zeX):

1)  р(х, у) = 0 ^х = у - аксиома тождества;

2)  р(х, у) = р(у, х) - симметричность;

3)  р(х, z) ^ р(х, у) + р(у, z) - неравенство треугольника.

В теории метрических пространств используется геометрическая терминология, хорошо согласующаяся с нашими наглядными представлениями и ассоциациями. Для метрического пространства < X, р) элементы xeX называются точками этого пространства, отображение р - метрикой пространства, а число р(х, у) - расстоянием между его точками x и у.

Упражнение 1. Если в определении 1 аксиому тождества заменить более слабым тождеством р(х, х) = 0, то получим понятие псевдометрического пространства. Докажите, что на псевдометрическом пространстве < X, р) отношение «близости» ~ между его точками х и у, означающее р(х, у) = 0, является эквивалентностью на X, причем фактормножество X/~ естественным образом наделяется структурой метрического пространства.

Примеры. 1. < R, р), где р(х, у) = lx-у I.

2. < Rn, р), где р(х, у) = ((хгу1)2+(х2-у2)2+...+(хп-уп)2)1/2 для х = (х1, х2,..., хп) и у = (у1, у2,..., уп).

3.  < C, p>, где C - множество всех непрерывных действительно­значных функций, определенных на единичном отрезке [0, 1], и

1

P(f, g) = j fgdx при любых f, geC.

0

4.  < X, p> для произвольного непустого множества X и тривиальной метрики р:

Г0, если x = у

Р(х, У) = ^ ф

[1, если x Ф у.

5.  Пусть X - множество всех слов в непустом алфавите A. Расстоянием р(и, v) между словами u, ve X называется число мест, на которых в словах и и v стоят разные буквы из A. Например, если A = {a, b, c}, и = bbaccab, v = abcca, то р(и, v) = 5. Получаем метрическое пространство < X, р>, метрика которого называется расстоянием Хемминга. Это понятие играет важную роль в теории кодирования.

Упражнение 2. Покажите, что аксиомы метрического пространства 1)-3) независимы друг от друга. Для этого постройте три примера-модели (X, р>, в каждом из которых выполняются ровно две аксиомы из трех.

Упражнение 3. Попытайтесь в произвольном метрическом пространстве ввести понятие отрезка с концами в двух данных точках, а также определить прямую линию.

Рассмотрим теперь иную аксиоматику метрических пространств

[10].

Будем считать, что для пары < X, р>, где р: Xx X ^ R, наряду с условием 1) выполняется модифицированное неравенство треугольника

4) р(у, z) < р(х, у) + р(х, z).

Ясно, что условие 4) вытекает из определения 1. Покажем, что из условий 1) и 4) следует неотрицательность и симметричность отображения р. При у = z из 4) и 1) следует 2р(х, у)> р(у, у) = 0, т. е. всегда р(х, у)> 0. А при х = z из 4) и 1) получаем р(у, х) < р(х, у) для любых х, уeX, что и дает аксиому 2).

В некоторых разделах современной математики (теория чисел, р-адический анализ) важную роль играют ультраметрические пространства.

Определение 2. Метрическое пространство < X, р> называется ультраметрическим, если аксиома 3) заменена более сильным условием

5) p(x, z) < max(p(x, у), р(у, z)).

Метрика р на множестве X, удовлетворяющая аксиоме 5), называется ультраметрикой.

Пример 6. Пусть p - фиксированное простое число и метрика р на Q определена следующим образом. Каждое рациональное число a можно однозначно записать в виде a = p b, где k - целое число, числитель и знаменатель несократимой дроби b не делятся на p. Для числа a определяется p-адическая норма v(a) = 1/pk. Тогда на Q получаем соответствующую p-адическую метрику p(x, у) = v(x, у).

Упражнение 4. Убедитесь, что p-адическая метрика на Q является ультраметрикой.

Напомним понятия открытого и замкнутого шаров в произвольном метрическом пространстве < X, р>. Множество Ur(x0) = (xeX: p(x, x0)< r}, r> 0, называется открытым шаром пространства < X, р> с центром в точке x0 и радиусом r. Если в определении открытого шара строгое неравенство заменить нестрогим, то получим определение замкнутого шара Vr(x0).

Ультраметрические пространства обладают многими необычными геометрическими свойствами.

Теорема 1. Для произвольного метрического пространства (X, р> эквивалентны следующие утверждения:

(1)  р - ультраметрика;

(2)  любой треугольник в X является равнобедренным по большей стороне;

(3)  если два шара в X пересекаются, то один из них содержится в другом.

Доказательство. (1) ^ (2). Пусть < X, р> - ультраметрическое пространство. Треугольником называется любое семейство из трех точек x, у, z пространства X. Точки могут и совпадать, тогда треугольник будет вырожденным. Рассмотрим расстояния между этими точками: p(x, у), p(x, z) и р(у, z). Можно предположить для определенности, что число p(x, z) не меньше каждого из остальных двух чисел. Тогда из неравенства 5) следует, что одно из расстояний p(x, у) или р(у, z) равно p(x, z). Значит, две большие «стороны» данного треугольника равны между собой «по длине».

(2)  ^ (3). Пусть выполнено условие и шары Ur(x0) и Us(y0), r< s, имеют общую точку z. Покажем, что Ur(x0)cUs(y0). Имеем p(x0, z)< r и p(y0, z)< s, откуда p(x0, y0)< s в силу 2) и 5). Предположим от противного, что нашлась точка xeUr(x0)Us(y0). Это значит, что p(x, x0)< r, но p(x, y0)> s> r. Тогда в треугольнике, образованном точками x0, y0 и x, длина p(x, y0) больше длин других его сторон, что противоречит утверждению (2).

(3)  ^ (1). Пусть верно утверждение (3), но для некоторых точек x, y, zeX не выполняется неравенство 5). Это означает, что p(x, z)> p(x, y) и p(x, z)> p(y, z). Положим p(x, z) = r. Шары Ur(x) и Ur(z) имеют общую точку y, поэтому один из них содержится в другом. Но тогда p(x, z)< r, что невозможно.

Упражнение 5. В утверждении (3) теоремы 1 мы рассматривали открытые шары. Докажите, что в этом утверждении можно брать любые шары: оба замкнутых; один открытый, а другой замкнутый.

Замечание 1. Относительно р-адической нормы кольцо целых р-адических чисел компактно, а поле всех р-адических чисел локально компактно. В них сходимость числового ряда равносильна стремлению общего члена ряда к нулю. См. [4].

Рассмотрим теперь понятие непрерывного отображения метрических пространств.

Определение 3. Отображение f: < X, р} ^ < Y, о} метрических пространств называется непрерывным в точке x0eX, если для любого е> 0 существует такое 8> 0, что p(x, x0)< 8 влечет of(x), f(x0))< е для любых xeX. Если отображение f непрерывно во всех точках пространства X, то его называют просто непрерывным отображением. Отображение f: < X, р} ^ < Y, о} называется равномерно непрерывным, если для любого е> 0 найдется такое 8> 0, что p(x, y)< 8 влечет of(x), f(y))< е для всех x, yeX.

Ясно, что равномерно непрерывные отображения непрерывны.

Определение 4. Последовательность (xn) точек xn метрического пространства < X, р} называется сходящейся к точке x0, если p(xn, x0) ^ 0 при n ^ го. При этом точка x0 называется пределом последовательности (xn).

Легко видеть, что никакая последовательность точек метрического пространства не может иметь более одного предела (а все-таки почему?).

Упражнение 6. Докажите, что отображение f: X ^ Y метрических пространств непрерывно в точке x0eX, если и только если для любой сходящейся к x0 последовательности (xn) в X последовательность (f(xn)) сходится к f(x0) в Y.

Подмножество метрического пространства называется открытым, если оно является объединением некоторого семейства открытых шаров этого пространства. Дополнения до открытых множеств называются замкнутыми множествами.

Упражнение 7. Убедитесь, что объединение любого семейства открытых множеств и пересечение всякого конечного семейства открытых множеств метрического пространства открыты. Верны ли аналогичные утверждения для замкнутых множеств?

Упражнение 8. Если для метрического пространства < X, р> положить o(x, у) = min(p(x, у), 1) при любых x, yeX, то получим ограниченное метрическое пространство < X, о>, открытые множества которого будут совпадать с открытыми множествами исходного пространства < X, р>. Докажите.

Упражнение 9. Проверьте, что отображение f: < X, р> ^ < Y, о> метрических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз f-1(U) любого открытого множества U в Y есть открытое множество в X.

Упражнение 10. Докажите, что для замкнутости подмножества A метрического пространства X необходимо и достаточно, чтобы предел всякой сходящейся последовательности точек xneA также принадлежал A.

Пусть дана непрерывная функция f: < X, р> ^ R абстрактного метрического пространства X в R с обычной метрикой. Множество Zf) = (xeX: fx) = 0} называется нуль-множеством функции f. Нуль­множеством на X называется нуль-множество любой непрерывной действительно-значной функции, определенной на метрическом пространстве X. Дополнения до нуль-множеств называются конуль - множествами. Очевидно, нуль-множества на X являются замкнутыми множествами. Оказывается, что для метрических пространств верно и обратное.

Теорема 2. Любое замкнутое множество произвольного метрического пространства ( X, p) является нуль-множеством на X.

Доказательство. Пусть дано непустое замкнутое подмножество А метрического пространства X. Зададим на X функцию расстояния d до множества А следующим образом: d(x) = inf(p(x, а): аеА). Докажем, что функция d: X ^ R равномерно непрерывна и А = Z(d).

Зафиксируем е> 0 и возьмем точки x, yeX, для которых p(x, y)< 8 = е. Рассмотрим неравенство 3) для произвольной точки zeX. Переходя в левой части неравенства к точной нижней грани по z, получим d(x) < p(x, y) + p(y, z). А затем, переходя в правой части к точной нижней грани по z, получим d(x) < p(x, y) + d(y). Аналогично, с учетом симметричности метрики p получаем d(y) < p(x, y) + d(x). Следовательно, |d(x)-d(y)|< p(x, y)< е. Это доказывает равномерную непрерывность, а значит, и непрерывность функции d.

Наконец, проверим равенство А = Z(d). Ясно, что AcZ(d). Пусть d(x) = 0. Существует такая последовательность точек апеА, что p(an, x)< 1/2п. Значит, (an) ^ x при n ^ Поскольку А замкнуто, то xeA на основании упражнения 8. Стало быть, и Z(d)cA.

Рис. 1

Упражнение 11. Докажите, что для любых двух непересекающихся замкнутых множеств A и B произвольного метрического пространства X существует непрерывная функция f: X ^ [0, 1], для которой A = Z(f и B = Z(1-f). Такое свойство метрических пространств называется совершенной нормальностью.

Заметим, что многое из отмеченного выше справедливо и для псевдометрических пространств (см. [8]). Основы теории метрических пространств изложены в великолепном университетском учебнике [9]. В нем приведены критерии полноты и компактности для метрических пространств, принцип сжимающих отображений и т. д.

2. Топологические пространства

Начала общей, или теоретико-множественной, топологии содержатся в книгах [1-3, 8-15]. Дадим наиболее употребительное классическое определение топологических пространств, впервые предложенное П. С. Александровым.

Определение 5. Топологическим пространством называется пара < X, т>, где т - множество подмножеств множества X, удовлетворяющее следующим условиям:

(1)  0, X ет;

(2)  объединение любого непустого семейства множеств из т принадлежит т;

(3)  пересечение любых двух множеств из т принадлежит т.

Условия (1)-(3) суть аксиомы топологического пространства,

множество т называется топологией на X. Множества UeT называются открытыми множествами, а их дополнения XU называются замкнутыми множествами топологического пространства < X, т>. В обозначении топологического пространства символ т часто будем убирать.

Важнейший класс топологических пространств составляют метрические пространства (см. упражнение 6).

Приведем теперь первое определение топологических пространств, предложенное Куратовским, который положил в основу определения понятие замыкания множества.

Определение 6. Топологическим пространством называется множество X с заданным на множестве B(X) всех его подмножеств оператором замыкания [ ], обладающим следующими свойствами:

i) 
Ac[A] для любого AcX;

ii)
[A]c[[A]];

iii)
[AuB] = [A]u[B];

iv)[0] = 0.

Теорема 3. Определения 5 и 6 топологического пространства эквивалентны.

Доказательство. Пусть дано топологическое пространство < X, т> в смысле определения 5. Зададим на B(X) оператор замыкания [ ] следующим образом. Для любого AeB(X) положим

[A] = n(BcX: AcB и B замкнуто в < X, т>}. (I) Множество [A] называется замыканием множества A в топологическом пространстве < X, т>. Легко проверяются все свойства i)-iv) определения 6.

Обратно, рассмотрим топологическое пространство < X, [ ]> в смысле определения 6. Множество BcX называется замкнутым, если [B] = B. Определим на X соответствующую топологию:

т = (AcX: XA замкнуто}.                              (II)

Нетрудно убедиться, что множество TcB(X) удовлетворяет аксиомам (1)-(3) определения 5.

Нужно еще проверить, что для произвольного множества X отображения (переходы) (I) и (II) взаимно обратны. Для любого AcX имеем:

AeT ^(I)^ [XA] = XA ^(II)^ AeT.

Упражнение 12. Восполните детали в доказательстве теоремы 3.

Упражнение 13. Дайте определение топологического пространства через замкнутые множества.

Замечание 2. Помимо указанных трех определений топологических пространств существуют и другие эквивалентные определения. Они базируются на следующих понятиях: предельная точка, внутренность, граница, нарост, сходимость направленности, окрестность точки, окрестность множества, открытая база, отношение близости и т. д.

Рассмотрим теперь основные условия отделимости, накладываемые на топологические пространства, в порядке их усиления:

To-пространства z Т1-пространства z хаусдорфовы пространства z z регулярные пространства z тихоновские пространства z z нормальные пространства z совершенно нормальные пространства. Определение 7. Топологическое пространство X называется: Т0-пространством (или колмогоровским, поскольку введено в математику А. Н. Колмогоровым, 1935 году), если для любых его различных точек х и у найдется открытое множество U в X, содержащее ровно одну их них: хеи, у^и или уеи, хё-U;

Т1-пространством, если для любых его различных точек х и у найдется открытое множество в X, содержащее х и не содержащее у;

хаусдорфовым (или Т2-пространством), если для любых его различных точек х и у найдутся такие непересекающиеся открытые множества U и V в X, что хеи и уеV;

регулярным (или Т3-пространством), если оно является ^-пространством и для любых его точки х и не содержащего ее замкнутого множества B найдутся такие непересекающиеся открытые множества U и V в X, что хеи и BcV;

тихоновским (вполне регулярным, или Т35-пространством), если оно является ^-пространством и для любых точки х и не содержащего ее замкнутого множества B в X существует непрерывная функция f: X ^ R, для которойДх) = 1 иf(B) = {0};

нормальным (или Т4-пространством), если оно является ^-пространством и для любых его непересекающихся замкнутых множеств A и B существуют такие непересекающиеся открытые множества U и V в X, что AcU и BcV;

совершенно нормальным, если оно является ^-пространством и для любых его непересекающихся замкнутых множеств A и B существует такая непрерывная функция f: X ^ R, что A = Zf) и B = Z(1-f).

Заметим, что открытое множество, содержащее данную точку или данное множество, называется окрестностью этой точки или этого множества. В терминах окрестностей можно переформулировать пять из семи сформулированных выше условий отделимости. Что получилось?

Большая лемма Урысона (см., например, [8, с. 157]) утверждает, что во всяком нормальном (здесь условие T1 можно не требовать) пространстве для любых его непересекающихся замкнутых множеств A и B существует непрерывная функцияf: X ^ [0, 1], для которой AdZ(f) и BcZ(1-f).

Упражнение 14. Докажите, что действительно в определении 7 аксиомы отделимости расположены по мере их усиления (с учетом большой леммы Урысона). Изобразите свойства отделимости на диаграммах Эйлера-Венна.

Базой топологического пространства X называется всякое множество о его открытых множеств, такое, что любое открытое множество в X является объединением некоторых множеств из о.

Упражнение 15. Убедитесь, что для произвольного ^-пространства условие тихоновости равносильно тому, что все его конуль-множества составляют базу.

Определение 8. Топологическое пространство X называется компактным, если из любого его открытого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие. Открытым покрытием пространства X называется любое семейство его открытых множеств, объединение которого совпадает со всем X, а подпокрытие семейства множеств - это подсемейство данного семейства.

Общее понятие компактности впервые сформулировал П. С. Александров в 1922 году, ему посвящена одна из первых монографий в мире по общей топологии [2], сданная в печать в 1923 году, но опубликованная только в 1929 году.

Множество A топологического пространства < X, т}, рассматриваемое с индуцированной топологией, состоящей из всевозможных множеств вида AnU, где UeT, называется подпространством в X.

Важнейшие понятия факторпространства и тихоновского произведения топологических пространств мы здесь вводить не будем.

Упражнение 16. Покажите, что любое замкнутое множество компактного пространства является компактным подпространством. А
любое компактное подпространство компактного хаусдорфова пространства X есть замкнутое множество в X.

В качестве иллюстрации докажем следующий результат.

Теорема 4. Любое компактное хаусдорфово пространство нормально.

Доказательство. Возьмем в X произвольные непересекающиеся замкнутые множества A и B. В силу предыдущего упражнения подпространства A и B компактны. Фиксируем точку aeA. Для произвольной точки beB существуют непересекающиеся открытые окрестности Ub и Vb точек a и Ь соответственно. Множества BnVb образуют открытое покрытие компактного пространства В (с индуцированной топологией подпространства). Поэтому BcV = VbuVcu. ..uVd для конечного числа точек Ь, c,..., deB. Открытое множество UbnUcn.. .nUd содержит a и не пересекается с V (рис. 2).

X

Рис. 2

Итак, произвольно выбранная точка aeA и множество B обладают непересекающимися открытыми окрестностями Ua и Va. Объединение множеств Ua, aeA, содержит компактное подпространство A. Поэтому AcU = UauUxu...uUz для конечного числа точек a, x,..., zeA. Открытое множество V = VanVxn...nVz содержит B и не пересекается с открытой

Топологическое пространство < X, т> называется метризуемым, если на X можно ввести метрику, относительно которой множество открытых множеств совпадает с топологией т. Заметим, что открытые шары произвольного метрического пространства образуют базу соответствующего (метризуемого) топологического пространства.

Переходим к другим примерам топологических пространств.

Примеры 7. Пусть X - антидискретное топологическое пространство, т. е. его топология т = {0, X}. Если мощность X не меньше 2, то такое X не является Т0-пространством.

8.  Возьмем X = {0, 1} с топологией т = {0, {0}, X}. Полученное Т0-пространство называется связным двоеточием и не является Т1-пространством.

9.  Рассмотрим любое бесконечное множество X в точности с коконечными открытыми множествами, представляющими собой дополнения в X до конечных множеств (такая топология называется топологией Фреше). Получаем нехаусдорфово ^-пространство.

окрестностью U множества A (рис. 3), что завершает доказательство теоремы.

10.  На единичном отрезке [0, 1] рассмотрим расширение естественной топологии, порожденное добавлением замкнутого
множества {1, 1/2, 1/3,., 1/n,...}. Это топологическое пространство хаусдорфово, но не регулярно.

11.  Существуют регулярные пространства, не являющиеся тихоновскими (см. [14, пример 2.4.21]). Указанный пример достаточно сложен.

12.  Тихоновское произведение двух стрелок Александрова (см. пример 13), будучи тихоновским пространством, не является нормальным. Примером ненормального тихоновского пространства служит также тихоновское произведение несчетного множества прямых R [3, глава II, задача 392].

13.  Лексикографический квадрат. На прямом произведении (0, 1)x (0, 1) топология порождена лексикографическим порядком: M = (a, b)< (c, d) = N означает, что a< c или b< d при a = c. Базу этой топологии образуют всевозможные интервалы (M, N), M< N. Получаем пример нормального пространства, не являющегося совершенно нормальным. Лексикографический квадрат является даже наследственно нормальным пространством [14, с. 183], т. е. все его подпространства нормальны.

14.  Стрелка Александрова. Пусть на [0, 1) задана топология, открытую базу которой образуют всевозможные полуотрезки [a, b), где 0< a< b< 1. Данное топологическое пространство совершенно нормально, но неметризуемо. См., например, [3, глава II, задача 104].

15.  Топологическое пространство X с топологией B(X) называется дискретным. В таких пространствах все подмножества открыто - замкнуты, т. е. являются одновременно открытыми и замкнутыми. Напомним, что топологическое пространство называется связным, если в нем нет непустых собственных открыто-замкнутых множеств. Поэтому дискретные пространства мощности большей 1 несвязны.

Замечание 3. Пространства из примеров 7-9 компактны и связны. Пространства 10-14 некомпактны и связны. Дискретное пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.

Наряду с условиями отделимости важную роль в общей топологии играют так называемые аксиомы счетности.

Определение 9. Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет:

первой аксиоме счетности, если для каждой точки xeX существует такое счетное семейство (Un) ее (открытых) окрестностей, что любая окрестность точки x целиком содержит какую-либо из окрестностей Un;

второй аксиоме счетности, если X обладает счетной базой.

Упражнение 17. Покажите, что вторая аксиома счетности сильнее первой аксиомы счетности. Что это означает?

Упражнение 18. Какие из примеров пространств 6-14 удовлетворяют первой, второй аксиоме счетности?

Определение 10. Отображение f: X ^ Y топологических пространств называется непрерывным, если прообраз fl(U) любого открытого множества U в Y есть открытое множество в X. Взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение f: X ^ Y топологических пространств называется их гомеоморфизмом (X на Y), а сами пространства - гомеоморфными (X « Y).

Непрерывность отображения топологических пространств обобщает понятие непрерывности отображений метрических пространств. А гомеоморфность двух топологических пространств обобщает понятие изометрии метрических пространств. Изометрией двух метрических пространств называется их взаимно однозначное соответствие, сохраняющее метрику, т. е. расстояния между точками.

Упражнение 19. Приведите примеры двух гомеоморфных метрических пространств, между которыми не существует изометрии.

Отметим, что гомеоморфные пространства обладают абсолютно одинаковыми абстрактными топологическими свойствами. Поэтому компактное пространство [0, 1] не гомеоморфно некомпактному пространству (0, 1); здесь пространства берутся с естественной топологией. Компактные пространства [0, 1] и окружность также не гомеоморфны (почему?). А если из окружности выбросить одну точку, то получим некомпактное пространство, гомеоморфное интервалу (0, 1).

Упражнение 20. Покажите, что непрерывные отображения топологических пространств сохраняют свойства компактности и связности, но не обязаны сохранять свойства отделимости. Как это нужно понимать?

Упражнение 21. Докажите, что взаимно однозначное непрерывное отображение компактного хаусдорфова пространства на хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом этих пространств.

Экзотические пространства

Рассмотрим еще несколько условий отделимости топологических пространств, как слабых, так и сильных. Замыканием точки x топологического пространства X называется множество [x] = [{x}] - наименьшее замкнутое множество в X, содержащее точку x. Точку назовем замкнутой, если замкнуто соответствующее одноточечное множество. Непустое замкнутое подмножество пространства X называется неприводимым, если его нельзя представить в виде объединения двух собственных замкнутых подмножеств. Подмножество A пространства называется (всюду) плотным в X, если [A] = X. Ясно, что для любой точки x произвольного топологического пространства X множество [x] неприводимо и {x} плотно в подпространстве [x].

Топологическое пространство X называется:

Тв-пространством, если нарост [x]{x} любой его точки есть замкнутое множество;

неприводимым, если оно неприводимо как свое подмножество; нетеровым, когда в нем любая возрастающая цепочка открытых множеств обрывается;

трезвым, если оно является Т0-пространством и любое неприводимое множество в X имеет вид [x];

симметричным, если пересечение любого семейства его открытых множеств также открыто.

Отметим, что указанные «экзотические» пространства (экзотические в сравнении, скажем, с метрическими пространствами) играют важную роль в коммутативной алгебре, применяются в спектральной теории колец [6].

Упражнение 22. Докажите следующие простые утверждения. Тв-пространства занимают строго промежуточное положение между классами Т0-пространств и ^-пространств. Т0-пространства (Т1-пространства) однозначно характеризуются тем, что в них замыкания различных точек различны (соответственно, все точки замкнуты). Конечные Т0-пространства являются трезвыми

To-пространствами. Всякое непустое компактное Ti-пространство обладает хотя бы одной замкнутой точкой. Замкнутые множества симметрического пространства X образуют топологию на множестве X, которую можно назвать двойственной к исходной топологии.

Упражнение 23 [6, с. 135]. Для любого непустого топологического пространства X равносильны следующие условия:

1)  X неприводимо;

2)  каждое непустое открытое множество пространства X плотно в пространстве X;

3)  открытые множества пространства X связны.

Упражнение 24 [6, с. 139]. Произвольное топологическое

пространство нетерово тогда и только тогда, когда компактны все его открытые множества.

Примеры. 16. Возьмем топологическое пространство N всех натуральных чисел, топологию которого составляют начальные отрезки [1, n], neN. Замыкания [n] = {n, n+1, n+2,...}, neN, дают все непустые замкнутые множества пространства N. Полученное пространство является неприводимым трезвым To-пространством с плотным одноэлементным множеством {1}. Оно не компактно, не нетерово, не является ^-пространством.

17.  Предыдущее пространство симметрично. Рассмотрим двойственное пространство N*. Оно будет компактным нетеровым

_____                                                                                                                                                                                                m __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ w                                                                                                w

неприводимым трезвым To-пространством с единственной замкнутой точкой 1.

18.  Обозначим через Spec R пространство всех простых идеалов коммутативного кольца R с 1, наделенное стоуновской топологией (называемой еще топологией Зариского, или спектральной топологией). Оно называется простым спектром кольца R и является компактным Ti-пространством. На топологическом языке простого спектра выражаются различные алгебраические свойства колец. Например, простой спектр нетерова кольца является нетеровым пространством. Неприводимость Spec R для редуцированного кольца R эквивалентна целостности R. А хаусдорфовость Spec R равносильна регулярности кольца R. См. [5, гл. II, § 4].

Упражнение 25. Разберитесь в материале предыдущего примера.

Замечание 4. М. Кокстер [16] дал топологическую характеризацию пространств Spec R - это в точности компактные трезвые пространства, в которых компактные открытые множества образуют базу и замкнуты относительно конечных пересечений. Там же показано, что максимальные спектры коммутативных колец с 1 описываются как компактные Т1-пространства.

Теперь укажем некоторые условия несвязности, относящиеся к сильным свойствам отделимости.

Топологическое пространство X называется:

вполне несвязным, если для любых его различных точек существует открыто-замкнутое множество в X, содержащее ровно одну из этих точек;

нульмерным, когда X есть ^-пространство и его открыто - замкнутые множества образуют базу;

сильно нульмерным, когда X есть ^-пространство и для любых его непересекающихся нуль-множеств A и B существует открыто-замкнутое множество U в X, разделяющее эти множества: A<zU и BcU = 0;

экстремально несвязным, если замыкание любого его открытого множества открыто;

P-пространством, если оно тихоновское и пересечения счетных семейств открытых множеств в X суть открытые множества.

Очевидно, что сильно нульмерные пространства, хаусдорфовы экстремально несвязные пространства и P-пространства нульмерны, а нульмерные пространства вполне несвязны. Существуют вполне несвязные, но не нульмерные пространства, а также нульмерные, но не сильно нульмерные пространства. См. [3, 14].

Упражнение 26. Приведите пример несвязного пространства, не являющегося вполне несвязным.

Упражнение 27. Докажите, что в экстремально несвязных пространствах замыкания непересекающихся открытых множеств не пересекаются. Верно ли обратное?

Упражнение 28. Покажите, что компактные P-пространства конечны.

Упражнение 29. Докажите, что P-пространства сильно нульмерны. Для этого выясните, что представляют собой нуль­множества P-пространств.

Упражнение 30. Проверьте, что компактные нульмерные пространства сильно нульмерны.

Примеры. 19. Пространство Q всех рациональных чисел с интервальной топологией (индуцированной R) нульмерно.

20.  Максимальным спектром Max B булевой алгебры B называется пространство всех ее максимальных идеалов со стоуновской топологией. Максимальный спектр булевой алгебры является компактным нульмерным пространством. Причем пространство Max B экстремально несвязно тогда и только тогда, когда булева алгебра B полна. Это составная часть теории М. Стоуна о строении булевых алгебр и колец [17].

21.  Пусть X = Yu{p}, где Y - дискретное топологическое пространство несчетной мощности и pg Y. Окрестностями точки p пространства X объявляются всевозможные множества Uc X, дополнения XU до которых не более чем счетны. В результате получается P-пространство X с единственной неизолированной точкой p (т. е. одноточечное множество {p} не является открытым множеством). Оно не экстремально несвязно. Почему?

Замечание 5. Ряд пространств с необычными (непривычными) свойствами возник в теории колец непрерывных функций (см. [15, 17, 18]). Это и P-пространства, и F-пространства, и экстремально несвязные пространства. Они обладают тонкими топологическими свойствами, выполняют роль важных примеров и контрпримеров, служат существенными элементами различных общетопологических теорий и математических построений.

Литература

1.  Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: Наука, 1977.

2.  Александров П.С., Урысон П.С. Мемуар о компактных топологических пространствах. - М.: Наука, 1971 (третье издание).

3.  Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. - М.: Наука, 1974.

4.  Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985 (третье издание).

5.  Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.

6.  Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. - М.: Мир, 1971.

7.  Вечтомов Е.М. Математические очерки. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004.

8.  Келли Д. Общая топология. - М.: Мир, 1981 (второе издание).

9.  Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1989 (шестое издание).

10.  Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. - М.: Мир, 1983.

11.  Куратовский К. Топология: В 2 т. - М.: Мир, 1966. - Т. 1; 1969. - Т. 2.

12.  Стинрод Н., Чинн У. Первые понятия топологии. - М.: Мир,

1967.

13. Хаусдорф Ф. Теория множеств. - М.: ОНТИ, 1937.

14.  Энгелькинг Р. Общая топология. - М.: Мир, 1986.

15.  Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. - N. Y.: Springer-Verlag, 1976.

16.  Hochster M. Prime ideal structure in commutative ring // ^ans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 142, № 8. - P. 43-60.

17.  Stone M. Applications of the theory of Boolean rings to general topology // Т-ans. Amer. Math. Soc. 1937.V. 41, № 3. - P. 375-481.

18.  Vechtomov E.M. Rings of continuous functions with values in topological division ring // J. Math. Sciences (USA). 1996. V. 78, № 6. - P. 702-753.

VII. Взаимосвязь основных математических структур

Мир идей не открывается нам сразу. Мы должны снова и снова воссоздавать его в нашем сознании.

Ренэ Том

Математика обладает способностью открывать в окружающих нас вещах новые стороны и неожиданным образом расширять наши представления.

П. С. Александров

Существует тесная взаимосвязь трех типов фундаментальных математических структур: алгебраического, порядкового, топологического, пространств с мерой и графов. Рассмотрим такие связи, главным образом, для конечных объектов.

Пусть X - произвольное топологическое пространство с топологией т, являющейся по определению множеством всех открытых подмножеств пространства X (см. Приложение VI). Относительно отношения включения с топология т представляет собой полную дистрибутивную решетку (Приложение V). Определим на топологическом пространстве X также квазипорядок р:

хру означает [x] с [у] для любых x, yeX, где [х] - это замыкание в X одноточечного множества {х}. Бинарное отношение р на X рефлексивно и транзитивно, т. е. является квазипорядком. Имеем [x]={ zX фх} при любом xgX.

Обратно, возьмем квазиупорядоченное множество X относительно квазипорядка р на нем. Подмножество Y в X называется его р-идеалом (р-фильтром), если xgX, y<=Y и xр у (ур x) влекут xeY. Множество J всех р-идеалов и множество F всех р-фильтров в X служат топологиями на X, превращающими X в дуальные симметрические пространства. Топологическое пространство мы назвали симметрическим, если всевозможные пересечения его открытых множеств также открыты. Для полученного симметрического пространства X с топологией J равносильны включения [x] с [у] и x0 з у0, где через z° обозначается наименьшая открытая окрестность точки z из X.

Напомним, что топологическое пространство X называется Т0-пространством, если для любых двух его различных точек найдется открытое множество в X, содержащее ровно одну их этих точек, что равносильно соотношению:

[x]=[y] влечет x=y для любых x, yeX.

Теорема 1 (П. С. Александров, 1935 год; см. [6, теоремы 56 и 57]). На любом множестве X существует взаимно однозначное соответствие между симметрическими топологиями и квазипорядками, задаваемое отображениями р и J. При этом симметрическим Т0-пространствам (X, т) отвечают упорядоченные множества (X, <).

Рассмотрим далее категорию T всевозможных симметрических пространств (X, т) с непрерывными отображениями в качестве морфизмов и категорию K всех квазиупорядоченных множеств (X, р) с гомоморфизмами, т. е. отображениями, сохраняющими отношение квазипорядка. Любое отображение f: X ^ Y будет морфизмом (непрерывным отображением) в категории T тогда и только тогда, когда оно будет морфизмом (гомоморфизмом) в категории K для соответствующих объектов X и Y. В силу теоремы 1 имеет место:

Теорема 2. Категории T и K изоморфны между собой. В частности, изоморфны и их полные подкатегории, объектами которых являются симметрические Т0-пространства и упорядоченные множества соответственно.

Пусть теперь (A, +, •, <, 0, 1) - дистрибутивная решетка.

Элемент aeA называется:

неразложимым (в сумму), если a Ф 0 и для любых b, ceA равенство a = b+c влечет b = a или c = a;

простым (неразложимым в произведение), если a Ф 1 и из a = bc следует, что b = a или c = a при любых b, ceA.

В случае решетки L(X) всех замкнутых множеств топологического пространства X неразложимыми элементами будут замыкания [x] точек x из X. Если для Т0-пространства X верно обратное, то X называется трезвым пространством. Поэтому по решетке L(X) замкнутых множеств трезвого пространства X легко восстанавливается само пространство X. Заметим, что все конечные Т0-пространства трезвые.

Лемма 1. Трезвые пространства X и Y гомеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их решетки L(X) и L(Y) замкнутых (открытых) множеств.

Покажем, как по конечной дистрибутивной решетке A с 1 Ф 0 найти такое упорядоченное множество X, чтобы решетка J всех порядковых идеалов (<-идеалов) в X была изоморфна A. В качестве X возьмем множество всех неразложимых элементов решетки A. Оно не пусто, поскольку содержит атомы решетки A. Будем рассматривать X как упорядоченное подмножество в A с индуцированным порядком. Тогда легко усмотреть справедливость следующего утверждения:

Лемма 2. Для любого aeA эквивалентны условия:

1)  aX;

2)  порядковый идеал {хе^: х< a} в Xглавный;

3)  фильтр B = [a) = {bA b> a} решетки A простой.

Заметим, что система J = J(X) всех порядковых идеалов произвольного упорядоченного множества X является множеством всех замкнутых множеств соответствующего Т0-пространства X.

Теперь можно установить изоморфность решеток A и J (см. [5, с. 161-162] или [2, § 12]), т. е. доказать знаменитую теорему Биркгофа.

Теорема 3 (Г. Биркгоф, 1933 год). Любая конечная дистрибутивная решетка A изоморфна решетке J всех порядковых идеалов некоторого конечного упорядоченного множества X, определенного однозначно с точностью до порядкового изоморфизма.

Доказательство. Можно считать конечную дистрибутивную решетку A неодноэлементной. Пусть, как и выше, X есть упорядоченное множество (относительно порядка в A) всех неразложимых элементов этой решетки, а J - дистрибутивная решетка всевозможных порядковых идеалов в X. Построим между решетками A и J(X) изоморфизм, положив

f(a)={xeX: х< a}e J(X), aeA.

Для доказательства изоморфности отображения f проверим его биективность.

Сначала докажем инъективность f, взяв в A произвольные неравные друг другу элементы a, b. Можно предположить, что a не меньше b, и рассмотреть фильтр B = [a) . По предложению 5 Приложения V фильтр B лежит в некотором простом фильтре C = [c), не содержащем элемент b. Такой элемент ceX по лемме 2. Значит, cef(a)f(b) в силу определения f.

Докажем сюрьективность f. Для этого возьмем произвольный порядковый идеал Ie J(X) и найдем для него такой элемент aeA, чтобы I= f(a). Если I - пустое множество, то I= f(0). В противном случае полагаем

a =XI=x1+x2+...+xn, где I={x1, x2,.., xn}.

Ясно, что Ic f(a). Обратно, пусть xe f(a). Тогда в силу дистрибутивности

x=xa=xx 1 +xx2+... +xxn.

Откуда x=xxk для подходящего индекса k=1, 2, ..., n на основании неразложимости элемента x. Поэтому x< xk. А так как I - порядковый идеал, то xe I. Значит, и f(a)c I. И биективность f доказана.

 

Ясно, что a< Ь влечет f(a)<f(b) при любых a, beA. Обратно, пусть f(a)< f(b). Тогда, по только что доказанному, a =Xf(a)< Xf(b)=b. Поэтому биекция f осуществляет искомый изоморфизм решеток A JX).

Единственность (с точностью до порядкового изоморфизма) упорядоченного множества X, для которого A JX), вытекает из леммы 1. Теорема доказана.

Для данной конечной дистрибутивной решетки A с 1^0 построим соответствующее упорядоченное множество X несколько иным способом. Пусть Spec A - упорядоченное по включению множество всех простых идеалов решетки A. Следующее утверждение почти очевидно.

Лемма 3. В решетке A соответствие между множеством всех простых (множеством всех неразложимых) элементов a и множеством Spec A простых идеалов (a] (всех простых фильтров [a)) взаимно однозначно.

Теорема 4. Упорядоченные множества (с индуцированным порядком) всех неразложимых элементов и всех простых элементов любой неодноэлементной конечной дистрибутивной решетки A порядково изоморфны.

Доказательство. В любой решетке переход к дополнению осуществляет биекцию между множествами ее простых идеалов и простых фильтров. В конечной решетке все идеалы и фильтры главные. Поэтому в силу леммы 3 между множеством X всех неразложимых элементов решетки A и множеством Y всех ее простых элементов существует естественное взаимно однозначное соответствие:

каждому xe X отвечает уе Y, для которого (у] = A[x). Это соответствие является изоморфизмом упорядоченных множеств X и Y. В самом деле, соотношение x1< x2 в X равносильно включению простых фильтров [x1) з [x2), которое равносильно включению простых идеалов (у1] = A[x1) с A[x2) = (у2] для их набольших элементов у1, у2е Y, а это, в свою очередь, означает, что у1< у2. Теорема доказана.

Из теорем 3 и 4 вытекает:

Теорема 5. Всякая конечная дистрибутивная решетка A изоморфна решетке J(Spec A) всех порядковых идеалов упорядоченного множества простых идеалов в A.

Наконец, пусть дан гомоморфизм f: X — Y квазиупорядоченных множеств. Рассмотрим решетки J(X) и J(Y) всех р-идеалов для X и Y. Тогда отображение f1: J(Y) — J(X), f ~1(U)ef(X) для каждого р-идеала U квазиупорядоченного множества Y является решеточным гомоморфизмом, сохраняющим все точные грани.

Укажем обратное соответствие для конечных дистрибутивных решеток A и B. Возьмем произвольный решеточный гомоморфизм a: B — A, сохраняющий 0 и 1. По теореме 5 фактически мы имеем решеточный гомоморфизм a: J(Spec B) — J(Spec A). Для каждого PeSpec A полагаем:

f(P) есть наибольший элемент в a-1({ QeSpec A: Q не содержит P}). Получаем изотонное отображение f: Spec A — Spec B, порождающее исходный гомоморфизм: a = f^1.

Заметим также, что множество Spec A с топологией J(Spec A) называется стоуновским пространством произвольной дистрибутивной решетки A, по которому восстанавливается сама решетка A, если она конечна. С точностью до гомеоморфизма стоуновские пространства конечных дистрибутивных решеток - это в точности конечные Г0-пространства.

Суммируя сказанное о конечных структурах, получаем желаемый результат о взаимосвязи трех основных видов математических структур. См. также [1, 2, 4].

Теорема 6. Следующие категории попарно эквивалентны или антиэквивалентны:

(1) категория конечных дистрибутивных решеток и их гомоморфизмов, сохраняющих 0 и 1;

(2) 
категория конечных упорядоченных множеств с изотонными отображениями;

(3) 
категория конечных Т0-пространств с непрерывными отображениями.

Проследим указанные взаимосвязи на конкретном примере.

Иллюстрация

Рассмотрим связное пятиэлементное упорядоченное множество X={a, b, c, d, e} со следующим отношением порядка: a< c, b< c, b< d< e (рефлексивность и b< e предполагаются). Найдем его решетку порядковых идеалов J(X) относительно включения с. Получаем следующие 11 порядковых идеалов нашего упорядоченного множества X: 0, Xi={a}, %2={b}, Хз={а, b}, X4={b, d}, X5={a, b, c}, Хб={а, b, d}, X7={b, d, e}, X8={a, b, c, d}, X9={a, b, d, e} и {a, b, c, d, e}=X. Совокупность этих подмножеств множества X образует топологию, превращая X в пятиэлементное Т0-пространство <X, J(X)>.

X

Рассмотрим диаграммы Хассе упорядоченного множества X и дистрибутивной решетки J(X).

J(X)


X

c

а:

X5

X7

e

d

b

Xi

a


0

Далее ищем неразложимые и простые элементы решетки J(X). На диаграмме видно, что неразложимыми элементами, которые мы отмечаем кружочками, будут в точности X1, X2, X4, X5, X7. А простые элементы, помеченные квадратиками, - это X1, X5, X7, Xs и X9. Элементы X1, X5, X7 одновременно являются неразложимыми и простыми.

Очевидно, что относительно решеточного порядка упорядоченное множество простых элементов дистрибутивной решетки J(X) (порядково) изоморфно X:

%1^b,                            %7^a, %8^e, %9^c. (1)

Упорядоченное множество неразложимых элементов решетки J(X) также изоморфно X:

%1^a, %2^b,                                  %5^c, %7^e. (2)

Посмотрим теперь на J(X) как на абстрактную одиннадцатиэлементную дистрибутивную решетку A с 0=0 и 1=X. Обозначения остальных элементов A сохраним такими же, как и на диаграмме. Найдем все простые идеалы и простые фильтры этой решетки. Легко усмотреть, что простые идеалы совпадают с (главными) идеалами, порожденными каждым из простых элементов A. Простыми же фильтрами служат фильтры, порожденные неразложимыми элементами. Возьмем, к примеру, простой идеал {0, %ъ Х2, Х3, Х5}, порожденный простым элементом %5. Его теоретико-множественным дополнением в A служит шестиэлементный простой фильтр, порожденный неразложимым элементом %4. В решетке A существуют еще четыре аналогичных пары: простой элемент^неразложимый элемент. Соответствие основывается на отображениях (1) и (2):

%1^b^%2,                                              %7^a^%1,                           и %9^c^%5.

Меры на конечных множествах

Мерой на множестве X со значениями в ограниченной решетке L назовем любое отображение B(X) ^ L, такое, что |(0) = 0, |(X) = 1 и |(AuB) = |(A)+|(B) для всех A, B с X. Пространство с мерой - это пара (X, |), где | есть мера на множестве X.

Пусть (X, <) - конечное упорядоченное множество. Каждому порядковому идеалу в X поставим в соответствие сам этот идеал, рассматриваемый как элемент решетки L = J(X). Продолжим это соответствие до сюръективного отображения B(X) ^ L. Мы знаем, что J(X) является множеством всех замкнутых множеств Т0-пространства X, дуального к (X, J(X)). Поэтому элементы |({x}), xe X, - это в точности неразложимые элементы решетки J(X). Для любого A с X полагаем:

|(A) = [A]e J(X) = L, где [A] - замыкание множества A в пространстве X. Поскольку [AuB] = [A]u[B], то B(X) ^ L есть мера на множестве X.

Полученная мера | разделяет точки множества X, т. е. |({x}) Ф |({у}), если x Ф у в X. Действительно, для различных точек x, у Т0-пространства X имеем [x] Ф [у], откуда |({x}) Ф |({у}). Ясно, что |(A) = 0 только при пустом Ae B(X). Кроме того, |({x}) = [x] = {x} для минимальных элементов x упорядоченного множества X.

Возьмем теперь произвольное непустое конечное множество X и меру | на X, отображающую B(X) на (конечную) дистрибутивную решетку L. Предположим, что мера | разделяет точки множества X и множество значений | ({ x}), xe X, совпадает с множеством всех неразложимых элементов решетки L. Такие меры | будем называть специальными мерами.

Для каждого ae L определим множество Xa с X:

Xa = u|-1(a) = u{Ae B(X): |(A) = a}.

Тем самым, Xa есть наибольшее подмножество в X, на котором мера | принимает значение a. Покажем, что множество {Xa: ae L} замкнуто относительно операций пересечения и объединения, точнее, XacXb = Xab и XauXb = Xa+b при любых a, be L. Сначала докажем лемму.

Лемма 4. Для любых A с X и ae L справедливо соотношение:

A с Xa ^ i(A) < a.

Доказательство. Если A с Xa, то AuXa = Xa, откуда |(A)+|(Xa) = |(Xa) = a. Поэтому |(A) < a. Обратно, пусть |(A) < a. Тогда |(AuXa) = |(A)+|(Xa) = |(A)+a = a. Значит, AuXa = Xa и A с Xa.

Для a, be L имеем:

Xa с Xb ^ XaUXb = Xb ^ |(Xa)+|(Xb) = |(Xb) ^ |(Xa) < |(Xb) ^ a < b.

Поэтому XaCXb 3 Xab и XauXb с Xa+b. С другой стороны, по лемме 4 |(XaCXb) < |(Xa) = a и |(XaCXb) < |(Xb) = b, значит, |(XaCXb) < ab, откуда XacXb с Xab. Остается проверить включение XauXb з Xa+b. Берем xe Xa+b. Тогдаp = |({x}) < a+b, и p = p(a+b) = pa+pb. Поскольку элемент pe L неразложим, то p = pa или p = pb, т. е. p < a или p < b. Поэтому Xp с Xa или Xp с Xb. Стало быть, xe Xp с XauXb.

Следовательно, множество {Xa: ae L} является подрешеткой булеана B(X), изоморфной решетке L при соответствии Xa ^ a.

Зададим на множестве X отношение порядка по формуле:

x < у ^ |({x}) < |({у}) для любых x, ye X.

Очевидно, что (X, <) - упорядоченное множество. Покажем, что порядковыми идеалами в X служат множества вида Xa и только они. На основании леммы 4 заключаем, что

Xa = {xe X: |({x}) < a}, ae L.

Поэтому Xa является порядковым идеалом упорядоченного множества X. Обратно, рассмотрим произвольный порядковый идеал J в X. Докажем равенство J = Xa при a = |(J)e L. Для любого xe X верно равенство Xiax}) = {ye X: |({y}) < |({x}) = (x]. Кроме того, имеем

|(J) = Z{|({x}): xe J.

Следовательно,

J = u{X|({x}): xe J} = X|(j) = Xa.

Таким образом, доказан следующий результат:

Предложение 1. Для любого непустого конечного множества X существует взаимно однозначное соответствие между множеством всевозможных упорядочений X и множеством всех специальных мер на нем.

Далее пусть даны пространства с мерой (X, |) и (Y, v ), где B(X) ^ L и v: B(Y) ^ T для соответствующих ограниченных решеток L и T. Морфизмом пространства (X, |) в пространство (Y, v ) называется пара отображений f: X ^ Y и a: T ^ L, таких, что a - решеточный гомоморфизм, сохраняющий 0 и 1, и для всех Z c Y выполняется равенство |(/*1(Z)) = a(v(Z)). Очевидным образом определяется композиция морфизмов. В результате получается категория пространств с мерой. Рассмотрим ее подкатегорию M, объектами которой являются всевозможные конечные пространства (X, | ) со специальной мерой.

Предложение 2. Категория M эквивалентна категории всех конечных упорядоченных множеств с изотонными отображениями.

Вместо специальной меры B(X) ^ L на конечном множестве X можно рассмотреть систему D-значных мер на X, где D = {0, 1} - фиксированная двухэлементная цепь. Именно, для каждого xe X определим меру |x: B(X) ^ D следующим образом:

1, если |(A) >|({х})

для всех Ae B(X).

0 - в противном случае

Семейство мер (|х)хеХ разделяет точки множества X. Возьмем различные точки х, ye X. Имеем |({х}) Ф |({y}), скажем, не выпоняется неравенство |({х}) < |({y}). Тогда |х({х}) = 1 Ф 0 = |х({у}). Кроме того, |х Ф |y. Действительно, если элементы |({х}) и |({y}) решетки |(B(X)) несравнимы, то |х({х}) = 1 Ф 0 = |у({х}). Если же элементы |({х}) и |({y}) сравнимы, то |у({х}) = 0 Ф 1 = |х({х}) в случае |({х}) < |({y}) и |y({y}) = 1 Ф 0 = ^({y}) в случае |({y}) < |({х}).

Какими еще свойствами обладает семейство мер (|х)хеХ, соответствующее специальной мере | на X? Для решения этого вопроса перенумеруем элементы множества X: х1, х2, ..., хп. Для k = 1, 2, ..., n обозначим | k = | . Зададим отображение ф: B(X) ^ Dn формулой:

ф(А) = (11(A), 12(A), Цп(А)) при A с X.

Образ Im ф отображения ф является подрешеткой булевой решетки Dn. Заметим, что n-ки ф({х}), хе X, - ненулевые в силу теоремы 27 и упражнения 39 Приложения V, а также леммы 3. Они порождают полурешетку (Im ф{0}, +> и образуют множество всех неразложимых элементов дистрибутивной решетки Im ф = ф(B(X)). При этом решетка Im ф изоморфна подрешетке {Xa: ae L} булеана B(X), которая, в свою очередь изоморфна L. Поэтому решетки Im ф и L канонически изоморфны. И, фактически, пространства с мерой (X, ф> и (X, |> изоморфны между собой.

Обратно. Пусть на n-элементном множестве X заданы попарно различные D-значные меры |ь |2, ..., |n. Как и выше, определим отображение ф: B(X) ^ Dn. Такое ф осуществляет и-гомоморфизм булеана B(X) на верхнюю подполурешетку L = Im ф в Dn. Ясно, что в L любой элемент a Ф 0 = (0, 0, ..., 0) является суммой элементов вида ф({х}), хе X. Предположим, что система мер (|к) = {|ь |2, .••, |n} удовлетворяет следующим условиям:

I X (A)

1) система (|к) разделяет точки множества X, т. е. для любых различных элементов х, ye X существует такой номер 1 < k< n, что |к({х}) Ф |k({y});

2) для любых x, ye X найдется множество A с X, для которого Ik^x})-^^}) = |k({A}) при всех k = 1, 2, ..., n.

Условие 2) обеспечивает то, что полурешетка L = Im ф является подрешеткой булевой решетки Dn.

Систему D-значных мер (|k) = {|1, |2, ..., |п} на n-элементном множестве X назовем согласованной, если она удовлетворяет условиям 1) и 2) и множество элементов ф({ x}), xe X, совпадает с множеством всех неразложимых элементов решетки Im ф.

Предложение 3. Для любого конечного множества X соответствие | ^ (|) между специальными мерами | на X и согласованными системами {0, 1}-значных мер (|k) на X взаимно однозначно (с точностью до соответствующих изоморфизмов).

Упражнения

1.  Подробно докажите теоремы 1 и 2.

2.  Проверьте справедливость лемм 1-3.

3.  Сформулируйте утверждение, двойственное лемме 2. Верно ли

оно?

4.  Обозначим через Cn n-элементную цепь. Ясно, что J(Cn) = Cn+1. Пусть упорядоченное множество X=CmuCn есть несвязное объединение цепей. Что представляет собой решетка J(X)?

5.  Покажите, что для несвязного объединения U двух конечных упорядоченных множеств X и Y выполняется равенство J(U)=J(X)xJ(Y), т. е. решетка J(U) разложима. Верно ли обратное утверждение?

6.  Какие решетки J(X) имеют: антицепи X; булеаны X; произвольные цепи X?

7.  Как связаны решетки J(X) и J(Y) двойственных друг другу упорядоченных множеств X и Y?

8.  Найдите неразложимые и простые элементы восьмиэлементной булевой решетки.

9.  Постройте все топологии на четырехэлементном множестве.

10.  Докажите, что множества X со строгим отношением порядка - это в точности транзитивные простые ориентированные графы X. Напомним, что ориентированный граф называется простым, если в нем нет петель и любые две его различные вершины могут быть соединены только одной дугой (направленным ребром). Транзитивность ориентированного графа Г означает, что существование в Г дуг A—B и B—влечет существование дуги A—C.

11.  Пусть | - произвольная мера, отображающая булеан B(X) конечного множества X на дистрибутивную решетку L. Докажите, что XanXb = Xab при любых a, be L.

12.  Предположим, что мера | такова же, что и в предыдущем упражнении. Покажите, что XauXb = X|({x}) влечет Xa = X|({x}) или Xb = X№}) для любых xe X и a, be L.

13.  Дайте определение изоморфизма для пространств с мерой.

14.  Проверьте, что композиция морфизмов пространств с мерой также является морфизмом.

15.  Докажите предложение 2.

16.  Убедитесь, что определенные выше D-значные отображения |x действительно являются мерами на X.

17.  Как связаны меры |x с решеточными гомоморфизмами L — D?

18.  Определите понятие изоморфизма систем D-значных мер на множествах X и Y. А что следует понимать под их морфизмом?

19.  Можно ли в определении согласованной системы мер (|k) на n-элементном множестве брать m Ф n мер?

20.  Докажите предложение 3.

21.  Сформулируйте аналог предложения 2 для пространств с D-значными системами с D-значных мер. Докажите полученное утверждение.

Литература

1. Биркгоф Г. Теория решеток. - М.: Наука, 1984.

2.  Вечтомов Е.М. Теория решеток. - Киров: Изд-во КГПИ, 1995.

3.  Гретцер Г. Общая теория решеток. - М.: Мир, 1982.

4. Джонстон П.Т. Теория топосов. - М.: Наука, 1986.

5.  Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. - М.: Мир, 1990.

6.  Stone M.
Applications of the theory of Boolean rings to general topology // Т-ans. Amer. Math. Soc. 1937. V. 41. № 3. - P. 375-481.

Дополнение

Добавим к сказанному, что существуют самые разнообразные связи между различными математическими структурами, как абстрактными, так и конкретными, - связи формальные и связи содержательные.

Укажем ряд работ, в том числе книги [1, 7-12, 14, 15] из популярной серии «Современная математика», в которых прослежены такие связи.

(1)  Бахман Ф., Шмидт Э. n-угольники. - М.: Мир, 1973.

(2)  Вечтомов Е.М. Вопросы определяемости топологических пространств алгебраическими системами функций на них // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Геометрия. Топология. 1990. Т. 28. - С. 3-46.

(3)  Вечтомов Е.М. Кольца непрерывных функций на топологических пространствах. - М.: МПГУ, 1992.

(4)  Вечтомов Е.М. Функциональные представления колец. - М.: МПГУ, 1993.

(5)  Вечтомов Е.М. Полукольца непрерывных отображений// Вестник ВятГГУ. 2004. № 10. - С. 57-64 (грант РФФИ № 03-01-07005).

(6)  Владимиров Д.А. Булевы алгебры. - М.: Наука, 1969.

(7)  Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. - М.: Мир, 1971.

(8)  Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета - функции. - М.: Мир, 1982.

(9)  Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. - М.: Мир, 1983.

(10)  Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. - М.: Мир, 1972.

(11)  Рид М. Алгебраическая геометрия для всех. - М.: Мир, 1991.

(12)  Рингель Г. Теорема о раскраске карт. - М.: Мир, 1977.

(13)  Хартсхорн   Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1981.

(14)  Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. - М.: Мир,

1970.

(15)  Шоке Г. Геометрия. - М.: Мир, 1970.

(16)  Vechtomov E.M. Rings of continuous functions. Algebraic aspects // J. Math. Sciences (USA). 1994. V. 71, № 2. - P. 2364-2408.

(17)  Vechtomov E.M. Rings and sheaves // J. Math. Sciences (USA). 1995. V. 74, № 1. - P. 749-798.

(18)  Vechtomov E.M. Rings of continuous functions with values in topological division ring // J. Math. Sciences (USA). 1996. V. 78, № 6. - P. 702-753.

VIII. Некоторые классические модели

Учить абстрактному, не изучив конкретного, - непростительный грех.

З. А. Мелзяк

1. Модели динамики популяции

Несколько обобщим известную мягкую логистическую модель с отловом, добавив в нее новый параметр d, характеризующий постоянный отлов, не зависящий от периода времени. Методически эта обобщенная модель с четырьмя параметрами удобна тем, что ее частными случаями служат все основные модели динамики популяции: жесткая модель Мальтуса, логистическая модель, экспоненциальная модель с отловом, логистическая модель с отловом и уже названная мягкая логистическая модель с отловом.

Итак, рассмотрим дискретный вариант мягкой логистической модели с двойным отловом:

xn+1 = (a - bxn)xn - cxn - d, (1)

где xn - биомасса (численность) популяции в n-й период (или момент) времени, n - неотрицательное целое число, a - коэффициент прироста популяции, b - коэффициент естественной убыли популяции, cxn - так называемый отлов, линейно зависящий от текущей биомассы с коэффициентом пропорциональности с, коэффициент d охарактеризован выше. Все коэффициенты (параметры) a, b, с, d - фиксированные для конкретной модели (1) неотрицательные действительные числа.

При b=c=d=0 получаем модель Мальтуса роста народонаселения

xn+1 = axn, или xn = anx0, (2)

где a>1 и x0 - численность населения данной страны в начальный период времени, или в начальной точке отсчета. Ежегодный k-процентный прирост населения дает значение a = 1+k/100.

При c=d=0 из (1) получаем хорошо известную более мягкую логистическую модель роста населения

xn+1 = (a - bxn)xn;                           (3)

здесь постоянный коэффициент прироста населения заменяется переменным множителем, линейно зависящим от хп. Интересно отметить, что по разным оценкам (при различных подходах к адекватным значениям параметров a и b) модель (3) дает стационарное значение населения Земли в пределах от 1б до 20 миллиардов человек.

Далее, взяв b=c=0, получаем экспоненциальную модель с отловом

хп+1 = aхn - d.                 (4)

Если c=0, то приходим к логистической модели с отловом

хп+1 = (a - Ьхп)хп - d. (5)

Наконец, положив в формуле (1) d=0, получим мягкую логистическую модель с отловом:

хп+1 = (a - Ьхп)хп - CXn. (б)

Проведем краткий анализ обобщенной модели (1). Это одномерная дискретная мягкая модель, зависящая от величины четырех параметров. Обычно величина a чуть больше 1, b, c - немного больше 0, d и хп измеряются в условных единицах, скажем, в миллионах человек. Найдем стационарные значения хп, т. е. такие, что хп+1=хп. Для этого обозначим общее значение х:=хп+1=хп, и подставим его в формулу (1):

х = (a - Ьх)х - cх - d, или Ьх - (a-c-1^ + d = 0. (7)

По формуле Виета получаем два решения уравнения (7):

ха),(2) = 1/2b(a-c-1 ± ((a-c-1)2 - 4bd)1/2),                       (8)

причем х(1)>х(2) в случае, когда дискриминант D = (a-c-1) - 4bd > 0. В этом случае стационарные значения х(1) и х(2) характеризуют соответственно устойчивый и неустойчивый уровни поведения модели (1). Случай D<0 - вырожденный, не имеющий стационарных значений.

Рассмотрим отдельно случай D = 0. Тогда получаем критическое значение постоянного отлова и критическое стационарное значение

dкр = (a-c-1) /4Ь и хкр = х(1)=х(2)= (a-c-1)/2b.               (9)

Возьмем конкретные значения параметров: a=1,15; b=0,1; c=0,05 и d=0,02. Пусть условная единица 8=100 миллионов человек. Тогда получаем

хп+1 = (a - Ьхп)хп - cхn - d = - 0,1хп хп + 1,1 хп - 0,02. (10)

По формуле (8) вычисляем устойчивое и неустойчивое стационарные значения Х(1)«0,724е=72,4 млн. человек и Х(2)«0,2768=27,6 млн. человек. Составим таблицу значений хп для п = 5, 10, 15, 20, 25, 30 при начальных условиях х0 = 0,1; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 1,2, вычисляя их по формуле (10) с точностью до 0, 001. В этой таблице N - это номер п, при котором величина хп впервые достигает нуля или соответствующих стационарных значений с точностью до 0,001. Таблица значений составлена с помощью программы Excel.

Х0

Х5

Х10

Х15

Х20

Х25

Х30

N

0,1

0,018

0

0

0

0

0

6

0,2

0,172

0,139

0,092

0,024

0

0

22

0,4

0,425

0,448

0,472

0,497

0,522

0,546

204

0,6

0,623

0,639

0,654

0,666

0,677

0,685

161

0,8

0,779

0,767

0,757

0,750

0,744

0,740

93

8=1

0,905

0,856

0,823

0,799

0,781

0,768

114

1,2

1,007

0,921

0,867

0,830

0,804

0,785

120

Из приведенной таблицы и траекторий кривых, описывающих процесс изменения величины хп в зависимости от начальных нестационарных значений х0, видим, что возможны три случая:

1)  при х0 < Х(2) существует момент времени N, при котором =0 (или отрицательно);

2)  при х(2) < х0 < х(1) с ростом п величина хп, монотонно возрастая, стремится к устойчивому стационарному уровню х(1);

3)  при х0 > х(1) с ростом п величина хп, монотонно убывая, также стремится к значению х^).

Далее, при указанных значениях параметров a=1,15, b=0,1 и c=0,05, вычислим по формулам (9) критическое значение фиксированной убыли населения и критическое стационарное значение численности населения (некоторой страны): d^ = 0,01/0,4 = 0,025 у.е. = 0,025е = 2,5 млн. человек и x^ = 0,1/0,2 = 0,5 у.е. = 50 млн. человек. При полученном значении йкр стационарная величина x^ = 50 млн. человек является в определенном смысле оптимальным значением «снизу» - численность населения x будет монотонно убывать до хкр в случае х > хкр. Но даже при малом отклонении х < хкр, которое может быть вызвано внемодельными факторами, наступает катастрофа - через обозримое время население вымирает. Поэтому такое состояние неустойчиво и, в терминологии В. И. Арнольда [1], есть «оптимизация как путь к катастрофе».

Перечислим возможные интерпретации модели (1).

I.  Пусть хп - численность работающего населения в данной стране в n-й период времени. Как и выше, параметры a и b характеризуют естественный прирост и естественную убыль работающего населения. Коэффициент c соответствует смертности работающего населения от стрессов в переходный период развития страны. А величина d может означать постоянный призыв в армию работающей молодежи. Условная единица е измеряется в миллионах человек, скажем, е = 60 млн. человек.

II.  Предположим, что хп - это биомасса рыбы в пруду в n-м сезоне (в тоннах). Коэффициенты a и b описывают естественные прирост и мор рыбы в водоеме. Величина cхп - это планируемый сезонный вылов рыбы (квота отлова), разводимой в данном пруду, а величина d есть несанкционированный вылов рыбы (браконьерство).

III.  Возьмем финансово-экономическую интерпретацию, в которой хп означает доход (или капитал) фирмы в n-м году, коэффициент a характеризует ее рентабельность (рост производительности труда), коэффициент b учитывает конкуренцию, величина схп показывает налоги, ежегодно уплачиваемые фирмой, и d есть платежи фирмы за аренду, не меняющиеся в течение ряда лет. Здесь условной единицей может служить, например, е=1 млн. долларов.

2. Модели конфликтов

Модель Ланкастера военного конфликта. Это простейшая жесткая модель войны двух вражеских армий численностью x и у человек соответственно. Сами противоборствующие армии также будем обозначать буквами x и у. Текущее состояние модели описывается точкой M(x; у) положительной четверти координатной плоскости. Поэтому модель Ланкастера двумерна. Дискретная модель Ланкастера имеет вид

xn+1 = xn - Ьуп

(1)

Уп+1 = УП - axn,

где xn, уп - численности армий x, у в n-й период (n-ю единицу времени), военных действий, фиксированные коэффициенты a> 0 и b> 0 характеризуют мощность вооружения армий x и у соответственно. Считается, что за единицу времени один солдат армии x уничтожает a солдат армии у и один солдат армии у уничтожает b солдат первой армии. Время протекания военного конфликта разбивается на одинаковые по продолжительности периоды (минуты, часы, дни, годы и т. п.).

ТЛ                                                                                                                                                                              W                                                                                                                                                                                                                                      _____________________________________________________________________________ W

В самом начале войны состояние модели определяется точкой M(x0; у0), задающей так называемые начальные условия. Подставляя значение n=0 в систему (1), находим точку M(x1; у1). Затем последовательно находим точки M(x2; у2), M(x3; у3) и т. д. В результате получаем (дискретную) траекторию конфликта. Предполагается, что война заканчивается, если в некоторый период времени n наблюдается один из следующих случаев (берется наименьшее из таких значение n).

1.  xn> 0 и yn< 0, т. е. кривая конфликта пересечет луч 0X, означая победу армии x.

2.  xn< 0 и yn> 0, т. е. кривая конфликта пересечет луч 0Y, что приносит победу армии у.

3.  xn< 0 и yn< 0 - взаимное истребление армий противников (фактически траектория конфликта заканчивается в начале координат, а чисто теоретически - неограниченно стремится к этой точке).

Уравновешенность потерь характеризует одинаковую силу армий. Условие равновесия определяется равенством отношений хп+1/уп+1 = хп/уп. Оно в силу (1) эквивалентно равенству

хп — Ьуп_ хп

(2)

Уп — ^п Уп

которое в свою очередь эквивалентно соотношению aхn2 = Ьуп2. Легко видеть, что выполнение равенства (2) для некоторого неотрицательного целого числа п влечет его выполнение для всех п. Поэтому условие равновесия определяется равенством aхo2 = Ьу02, т. е. соотношением

У0 = д 7х0.                   (3)

V Ь

Возьмем прямую OL, заданную уравнением у = aх. Она разбивает

V Ь

первую четверть координатной плоскости на верхнюю и нижнюю части. Если точка М(х0; у0), соответствующая начальному состоянию модели,

находится в верхней части, что равносильно неравенству у0 > aх0, то

V Ь

получим случай 2, т. е. победу армии у за конечное время. Если же

М(х0; у0) принадлежит нижней части четверти, или у0 < aх0, то

V Ь

приходим к случаю 1, т. е. к победе армии х. Поэтому прямую OL называют разделяющей прямой для модели Ланкастера. Выполнение равенства (3) показывает, что начальная точка М(х0;у0) находится на разделяющей прямой, что соответствует случаю 3.

Проиллюстрируем сказанное на конкретных случаях при a = 0,1 и b = 0,4. Зададим пять вариантов начальных условий точками: М1 = М(2000; 1000), М2 = М(1800; 1000), Мз = М(1б00; 1000), М4 = М(1б00; 700) и M5 = М(2000; 800). Разделяющая прямая у = 0,5х здесь общая. Пользуясь Excel, находим координаты нескольких первых точек каждой из пяти траекторий конфликта, изображаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их линиями. В результате получаем следующий графический рисунок.

M3

M2

M1

, M5

1M41

-—

/

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 Численность армии х

a                                      2

Обозначим к = J - > 0. Откуда к = a/b. Следовательно, для

V b

уравновешивания численности армий (у = kx) необходимо и достаточно, чтобы вооруженность армии x отличалась от вооруженности армии у в к раз. Скажем, если армия у вдвое численно превосходит армию x, то для удержания равновесной ситуации армия x должна превосходить армию у в вооружении в четыре раза. И наоборот, если армия x вооружена в девять раз лучше армии у, то численность армии у должна втрое превосходить численность армии x. Стало быть, в модели Ланкастера превосходство армии в численности важнее ее превосходства в вооружении. Эта модель применима ко многим прошлым войнам, но в условиях использования современного оружия массового уничтожения она не работает.

Для обоснования того, что война завершится за конечное время и мы получим один из сценариев 1-3, можно проанализировать соответствующую непрерывную модель Ланкастера. Она имеет дифференциальный вид:

^ (4) у' = - ax,

1200

s 1000 s

£ 800 л

5 600

о

| 400

5

* 200 0

где a и b означают то же, что и в дискретной модели (1), x = x(t) и у = у(г) - численности армий как функции непрерывно текущего времени t. Производные x = dx/dt и у = dу/dt выражают скорость убывания численности армий x и у из-за потерь. При выборе малой единицы времени приблизительно получаем x = xn+1 - xn и у = уп+1 - уп. Значит,
дискретная (1) и непрерывная (4) модели Ланкастера согласованы друг с другом.

Решим систему (4). Имеем dx/by = - dt = dy/ax, или axdx = bydy. Переходя к неопределенным интегралам, находим решение данной системы дифференциальных уравнений: ax2 - by2 = C (const). Придавая C ненулевые действительные значения, получаем семейство гипербол,

разделенное прямой у = (C=0). При C> 0 гиперболы располагаются

под разделяющей прямой OL и пересекают ось абсцисс. А при C< 0 они находятся над прямой OL и пересекают ось ординат.

Теперь рассмотрим случаи 1-3 для конкретных начальных условий x0 = 1000, у0 = 2000 при фиксированном значении b = 0,1. А параметру a будем придавать последовательно значения 0,5, 0,3 и 0,4. С помощью Excel построим таблицы и соответствующие графики течения военного конфликта вплоть до его окончания ввиду полного истребления одной из армий. По оси абсцисс откладывается время, по оси ординат - численность армий.

Случай 1

Берутся a = 0,5 и b = 0,1. Поскольку у0 = 2000< 45 -1000 = ax0, то

V b

победит армия х.

п

xn

Уп

0

1000

2000

1

800

1500

2

650

1100

3

540

775

4

462,5

505

5

412

273,75

6

384,625

67,75

7

377,85

-124,563

Из приведенной таблицы видим, что на 7-м этапе ведения войны армия у уничтожена, а в армии х осталось примерно 380 человек.

2200

2000

1000

1600

1 400

1 200

армия х

1 000 ЙПП

^^^^ армия у

000

600

400

—*-------------------------------- *

200

л

0

-200

0 1 2 3 4 5 6 7

-400

Случай 2

Полагаем a = 0,3 и b = 0,1. Имеем у0 = 2000> V3 - 1000 = ЛРх0.

V Ь

Поэтому побеждает армия у.

п

хп

уп

0

1000

2000

1

800

1700

2

б30

14б0

3

484

1271

4

35б,9

1125,8

5

244,32

1018,73

б

142,447

945,434

7

47,903б

902,б999

8

-42,3бб4

888,3288

Из таблицы видно, что на 8-м этапе ведения войны армия х истреблена, а в армии у осталось еще около 900 человек из первоначальных 2000.

2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

-200

Случай 3

1------- 2------- 3------- 4------- 5------- 6------- 7------- 8

Предполагается, что a = 0,4 и b = 0,1. Здесь выполняется равенство

y0 = — x0. Поэтому в войне армии уничтожают друг друга. V b

п

xn

Уп

0

1000

2000

1

800

1600

2

640

1280

3

512

1024

4

409,6

819,2

5

327,68

655,36

6

262,144

524,288

...

...

...

37

0,324519

0,649037

38

0,259615

0,51923

39

0,207692

0,415384

При п = 39 фактически в каждой из армий не осталось ни одного человека.

2200

2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0­1 3 5 7 9 11 1315 1719 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

Модель Лотка-Вольтерра борьбы за существование. Здесь рассматривается модель взаимодействия двух популяций, одну из которых условно называют жертвой - обозначим ее x, а
другую - хищником у. Возможны следующие интерпретации: x - обороняющаяся армия, у - агрессивная армия; x - трудовой народ, у - разного рода вымогатели; x - караси в пруду, у - щуки в этом же водоеме. Через x и у будем обозначать численность (биомассу) популяций жертв и хищников соответственно. Для удобства обычно используется терминология последней интерпретации - караси x и щуки у.

Двумерная жесткая дискретная модель Лотка-Вольтерра определяется следующей системой рекуррентных соотношений:

xn+1 = axn — ^пуп                           (5)

Уп +1 = hn + dxпуп ,

где xn и уп - численности карасей и щук данного водоема в n-м сезоне, выраженные в условных единицах (у. е.); a> 1 - скорость естественного прироста карасей в отсутствие щук; 0<b<1 - скорость естественного вымирания щук, лишенных пищи, т. е. карасей; коэффициент c характеризует вероятность гибели карася при встрече с щукой; d -
вероятность роста популяции щук за счет поедания карасей. При этом величины cxnyn и dxnyn из формул (5) прямо пропорциональны числу возможных контактов карась-щука, т. е. значению xnyn.

Найдем условие стационарности модели Лотке-Вольтерра, которое заключается в сохранении численности карасей и численности щук при переходе к новому сезону: xn+1 = xn и yn+1 = yn. Исходя из этого, из системы (5) имеем dxn = 1-Ъ и cyn = a-1. Поэтому численности карасей и щук водоема в стационарном состоянии удовлетворяют равенствам

TOC o "1-3" h z 1 - Ъ a - 1                        ^

xo =—Г, Уо =--------------------- . (6)

d                 c

Модель Лотке-Вольтерра является жесткой моделью борьбы (карасей и щук) за существование, поскольку учитывает только противостояние антагонистических популяций, зависящее от четырех фиксированных параметров (констант) a, Ъ, c и d, но не обращает внимания на конкуренцию щук за пищу, вылов рыбы и т. п.

«

*

9

1

л

К

«

| • •

• •

■ • «

| •

• •

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6

Рассмотрим поведение модели (5) на конкретном примере: a = 1,2, Ъ = 0,7, c = 0,4 и d = 0,3. И будем считать, что общая 1 у. е. соответствует 1ооо особям. По формуле (6) находим начальные значения в стационарном состоянии: x0 = 1 и y0 = 0,5. Положим S = M(1; 0,5). С помощью Excel графически изобразим три случая с n = 40 первыми точками с начальными условиями M(1; 0,3), M(1; 0,6) и M(1; 0,7) соответственно. Через N обозначим номер сезона, в котором все караси будут съедены.

Начальные условия - М(1; 0,3)

1,6 1,4 1,2 s 1

0,8 ^ 0,6 0,4 0,2 0

Караси                      N = 136

Начальные условия - М(1; 0,7)

♦ ♦

♦ ♦ <

с

4

Ч.

♦ ♦ <

Г • ♦ ♦

♦ ♦

* ♦

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Караси                     N = 134

Литература

1.  Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. - М.: МЦНМО, 2000.

1,2

1

0,8

и

i

0,6

0,4

0,2

0

2.  Плотинский Ю.М. Математическое моделирование динамики социальных процессов. - М.: МГУ, 1992.

Заключение

Я знаю, что ничего не знаю.

Сократ

У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных.

Чарльз Дарвин

За пределами книги осталось много чего интересного как по объективной причине «невозможности объять необъятное», так и по субъективной причине ограниченности автора, его знаний и понимания сути вещей. Работа написана с точки зрения математика и вузовского преподавателя математики, решившего пофилософствовать по поводу математики. Мы свободно высказали свои взгляды на природу, специфику, статус и феномен математики. Изложенная позиция не лишена доли радикализма, определенного полемического запала и неизбежных изъянов. Нас, в первую очередь, интересовала онтология математики и соответствующие философско-математические положения.

Занятия математикой, анализ историко-математической литературы и источников по философии математики, размышления об основах математики и написание этой книги сделали для нас вполне очевидными следующие выводы.

Математика проста и строга, поэтому и мысли о ней должны быть достаточно просты и ясны. Они необходимо носят метафизический характер, могут иметь философско-религиозный оттенок. «Бритва Оккама» проста и остра, но справедлива. Как заметил нобелевский лауреат по физике Р. Фейнман, «истина всегда оказывается проще, чем можно было предположить». Однако мы помнили и о «призме Менгера» - философском принципе, согласно которому за любой кажущейся простотой нужно стремиться увидеть скрытые сущности.

Математика не могла не возникнуть. Она появилась, развивалась и стала именно такой, какой и должна была стать в любой разумной цивилизации. Всякий же разум базируется на классической логике.

Формальная логика - составная часть математики. Мир есть единый логически непротиворечивый организм. Мышление отдельных людей зачастую противоречиво. Совокупное мышление человечества вполне способно исправлять ошибки конкретных людей. В становлении правильного мышления и адекватного познания мира человеку помогает математика. Помогает, как ничто другое!

Математические истины вечны и прекрасны, как и шедевры мирового искусства. Математика есть мера научности. Область знания можно назвать строго научной только тогда, когда к ней применима математика.

Мера, структура и форма - главные категории методологии математики и научного познания. Поскольку эти категории вездесущи и универсальны, то и математика является универсальной наукой, эффективной в приложениях и полезной в жизни.

Математика несравнимо важнее и нужнее для других наук, чем они для нее. Чистая математика не зависит от физики, химии или информатики, а они без нее не могут существовать. Несколько сузив крылатый тезис Луи Пастера, заметим: нет прикладной математики, есть только приложения математики. Нужно понимать (и помнить) также, что фундаментальная математика - не коммерческая наука, но ее возможности в приложениях постине безграничны.

В сонме наук математика наиболее автономна, беспристрастна и объективна. Математика - язык и метод науки. Поэтому и как учебная дисциплина математика имеет наибольший дидактический и воспитательный потенциал, должна быть стержнем всего современного образования. На самом деле необходима не гуманитаризация естественно-математического образования, а напротив, - привнесение духа математики в обучение всем наукам. Говоря о математическом (как и любом другом) образовании, нужно иметь в виду целостное пространство культуры. Философия математического образования предполагает равноправие обеих доктрин - фундаменталистской и социокультурной.

Фундаментализм в философии науки, особенно в философии математики, выполняет функцию катарсиса человеческого сознания, очищает и освобождает сознание и мышление от ила наслоений, ненужных усложнений, бессмысленности искусственных новаций.

Библиографический список

1.  Абрамова Н. Т. Несловесное мышление. - М.: ИФРАН, 2002.

2.  Авалиани С. Ш. Трансформация метафизики // Вопросы философии. 2005. № 11. - С. 48-53.

3.  Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. - М.: Сов. радио, 1970.

4.  Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. - М.: Мир, 1994.

5.  Александров А. Д. Математика и диалектика // Математика в школе. 1972. № 1 - С. 3-9; № 2. - С. 4-10.

6.  Александров А. Д. Диалектика геометрии // Математика в школе. 1986. № 1. - С. 12-19.

7.  Александров А. Д. Основания геометрии: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука, 1987.

8.  Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: Наука, 1977.

9.  Александрова Н. В. Математические термины: Справочник. - М.: Высш. шк., 1978.

10.  Аносов Д. В. Взгляд на математику и нечто из нее. - М.: МЦНМО, 2000.

11.  Аргунов Б. И., Скорняков Л. А. Конфигурационные теоремы. - М.: Наука, 1957.

12.  Арепьев Е. И. Аналитическая традиция: методология науки и сравнительный анализ свойств математики // Философские науки. 2003. № 4. - С. 64-77.

13.  Арепьев Е. И. Аналитическая философия математики. - Курск: Изд-во Курск. гос. пед. ун-та, 2003.

14.  Арепьев Е. И. Методологические принципы аналитического истолкования природы математики // Философские науки. 2004. № 10. - С. 78-92.

15.  Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 1. - М.: Мысль, 1975.

16.  Арнольд В. И. Теория катастроф. - М.: Наука, 1990.

17.  Арнольд В. И. Математический тривиум // Успехи математических наук. 1991. Т. 46. Вып. 1. - C. 225-232; Ч. II. 1993. Т. 48. Вып. 1. - С. 211-222.

18.  Арнольд В. И. Для чего мы изучаем математику? // Квант. 1993. № 1-2. - С. 5-15.

19.  Арнольд В. И. О преподавании математики // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. Вып. 1. - C. 229-234.

20.  Арнольд В. И. Филдсовская медаль - воспитаннику московской математической школы // Математическое просвещение (третья серия). 1999. Вып. 3. - С. 7-20.

21.  Арнольд В. И. Антинаучная революция и математика // Вестник РАН. 1999. Т. б9. № б. - С. 553-558.

22.  Артин Э. Геометрическая алгебра. - М.: Наука, 19б9.

23. Архангельский А. В. О сущности математики и фундаментальных математических структурах // История и методология естественных наук. Математика, механика: Сб. Вып. XXXII. - М., 198б.- С. 14-29.

24. Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. - М.: Изд-во МГУ, 1988.

25. Архангельский С. И. Некоторые проблемы обучения в высшей школе. - М.: Знание, 1978.

26.Асмус В. Ф. Проблема интуиции в философии и математике. - М., 19б5.

27. Афанасьев В. В. и др. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб. пособие / В. В. Афанасьев, Ю. П. Поваренков, Е. И. Смирнов, В. Д. Шадриков; Под ред. В. Д. Шадрикова. - М.: Гардарики, 2002.

28. Балк М. Б., Балк Г. Д. Математика после уроков. - М.: Просвещение, 1971.

29.  Барабашев А. Г. Диалектика развития математического знания. - М.: Изд-во МГУ, 1983.

30.  Барабашев А. Г. Будущее математики. Методологические аспекты прогнозирования. - М.: Изд-во МГУ, 1991.

31. Баранцев Р. В. Имманентные проблемы синергетики // Вопросы философии. 2002. № 9. - С. 91-101.

32.  Башмакова И. Г. Основные этапы развития алгебры // История и методология естественных наук. Вып. XXXII. Математика, механика: Сб. - М.: Изд-во МГУ, 198б. - С. 50-б5.

33. Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. - М.: Наука, 1984.

34. Белл Э. Т. Творцы математики. - М.: Просвещение, 1979.

35.  Беляев Е. А., Перминов В. Я. Философские и методологические проблемы математики. - М.: Изд-во МГУ, 1981.

36. Берже М. Геометрия: В 2 т. - М.: Мир, 1984.

37. Берка К. Измерения. Понятия, теории, проблемы. - М.: Прогресс, 1987.

38. Беркли Дж. Трактат о началах человеческого знания. - СПб., 1905.

39.  Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты / Под ред. А. Г. Барабашева. - М.: Янус-К, 1997.

40. Бетяев С. К. Прогностика: первые шаги науки // Вопросы философии. 2003. № 4. - С. 3-13.

41.  Библер В. С. Мышление как творчество (Введение в логику мысленного диалога). - М.: Политиздат, 1975.

42. Библер В. С. От наукоучения - к логике культуры. - М.: Политиздат, 1990.

43. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. - М.: Мир, 1976.

44.  Биркгоф Г. Математика и психология. - М.: Сов. радио, 1977.

45. Бирюков Б. В. Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных времен до эпохи кибернетики. - М.: Знание, 1985.

46.  Бирюков Б. В., Кузичева З. А. Из истории становления логико - математического конструктивизма // Вопросы философии. 2004. № 12. - С. 89-102.

47.  Блауберг И. В. Проблема целостности и проблемный подход. - М.: Эдиториал УРСС, 1997.

48.  Блехман И. И. и др. Прикладная математика. Логика и особенности прикладной математики / И. И. Блехман, А. Д. Мышкис, В. Г. Пановко. - М., 1983.

49. Боголюбов А.Н. Математики. Механики: Библиографический справочник. - Киев: Наук. думка, 1983.

50.  Богоявленская Д. Б. Психология творческих способностей. - М.: Академия, 2002.

51. Болтянский В. Г., Савин А. П. Беседы о математике. Кн. 1. Дискретные объекты. - М.: ФИМА, МЦНМО, 2002.

52. Борель Э. Вероятность и достоверность. - М.: Наука, 1969.

53. Бородин А. И. Из истории арифметики. - Киев: Вища шк., 1986.

54.  Бородин А. И., Бугай А. С. Выдающиеся математики. - Киев: Родяньска шк., 1987.

55. Бредон Г. Теория пучков. - М.: Наука, 1988.

56.  Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1986.

57. Бросова Н. З. Судьба метафизики и судьба человека // Вопросы философии. 2005. № 9. - С. 54-65.

58. Брунер Дж. Психология познания. - М.: Прогресс, 1977.

59. Брушлинский А. В. Психология мышления и кибернетика. - М.: Мысль, 1970.

60. Будущее прикладной математики. Лекции для молодых исследователей / Под ред. С. С. Малинецкого. - М.: Едиториал УРСС, 2005.

61. Бузгалин А. В. Постмодернизм устарел. (Закат неолиберализма чреват угрозой «протоимперии») // Вопросы философии. 2004. № 2. - С. 3-15.

62. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. - М.: Мир, 1972.

63. Булавка Л. А., Бузгалин А. В. Бахтин: диалектика диалога versus метафизика постмодернизма // Вопросы философии. 2000. № 1. - С. 119-131.

64. Бурбаки Н. Интегрирование: Меры, интегрирование мер. - М.: Наука, 1967.

65. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: ИЛ, 1963.

66. Бурбаки Н. Теория множеств. - М.: Мир, 1965.

67. Бургин М. С. Подходы к понятию актуальной бесконечности в математике // В кн. [39]. - С. 97-107.

68. Бурова И. Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987.

69. Бэкон Ф. Новый Органон // Бэкон Ф. Сочинения: В 2 т. Т. 2. - М.: Мысль, 1972.

70. Бюлер В. Гаусс. Биографическое исследование. - М.: Наука, 1989.

71.  Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. - М.: Физматгиз, 1959.

72. Варанкина В. И., Вечтомов Е. М. Форма и формулы // Материалы Всероссийской научной конференции. Ч. 1. - Саранск: Изд-во Мордов. гос. пед. ин-та, 2002. - С. 139-144.

73. Васильев В. В. Мозг и сознание: выходы из лабиринта // Вопросы философии. 2006. № 1. - С. 67-79.

74.Васильев Н. А. Воображаемая логика. Избранные труды. - М.: Наука, 1989.

75.  Васютинский Н. А. Золотая пропорция. - М.: Мол. гвардия, 1990.

76.  Вейль Г. О философии математики. - М.; Л.: ГТТИ, 1934.

77.  Вейль Г. Симметрия. - М.: Наука, 1968.

78.  Вейль Г. Математическое мышление. - М.: Наука, 1989.

79.  Вейль Г. Пространство. Время. Материя. - М.: Янус, 1996.

80. ВеллерМ. Кассандра. - СПб.: Фолио, 2002.

81. Веллер М. Все о жизни. - СПб.: Фолио, 2005.

82. Вернадский В. И. Избранные труды по истории науки. - М., 1981.

83. Вернадский В. И. Переписка с математиками. - М.: Изд-во мехмата МГУ, 1996.

84. Вернадский В. И. О науке. Т. 1. Научное знание. Научное творчество. Научная мысль. - Дубна: Феникс, 1997.

85.  ВертгеймерМ. Продуктивное мышление. - М.: Прогресс, 1987.

86. Вечтомов Е. М. Функциональные представления колец: Монография. - М.: МПГУ, 1993.

87. Вечтомов Е. М. О курсе линейной алгебры. Абстрактность и наглядность // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. - 1998. Вып. 1. - С. 38-43.

88. Вечтомов Е. М. Модельные примеры в обучении современной математике // Вестник ВятГПУ. 2001. № 5. - С. 79-82.

89.  Вечтомов Е. М. Философские категории и математика // Сознание - Мировоззрение - Мышление: Сб. научных статей. Вып. 7. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2002. - С. 59-69.

90.  Вечтомов Е. М. Научное познание и математика // Вестник ВятГГУ.

2002. № 7. - С. 8-11.

91. Вечтомов Е. М. Теорема Геделя о неполноте и научное познание // Вестник ВятГГУ. Информатика. № 2. 2003. - С. 6-8.

92.  Вечтомов Е. М. Подходы - традиционные, методы - естественные // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона.

2003. Вып. 5. - С. 88-95.

93. Вечтомов Е. М. Единство математики // Вестник ВятГГУ. 2003. № 8. - С. 13-15.

94. Вечтомов Е. М. Интеллектуальная элита и гуманитарное образование // Интеллектуальная элита России ХХ века: столица и провинция: М-лы межрегион. науч. конф. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2003. - С. 31-37.

95. Вечтомов Е. М. Философия математики: Монография. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004.

96. Вечтомов Е. М. Математические очерки: Учебно-методическое пособие. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004.

97. Вечтомов Е. М. Какая философия познания соответствует природе математики? // Вестник ВятГГУ. 2004. № 11. - С. 10-16.

98. Вечтомов Е. М. Гносеологические основы математики, или о природе математики // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2005. Вып. 7. - С. 5-22.

99. Вечтомов Е. М. Проблема применимости и эффективности математики // Вестник ВятГГУ. 2005. № 12. - С. 10-15.

100. Вечтомов Е. М. Математика и научная картина мира // Сб. статей Всесоюзной научно-практич. конф. Т. 2. - М.; Коряжма: Старая Вятка, 2005. - С. 91-101.

101. Вечтомов Е. М., Клековкин Г. А. Математическое познание: от модели к модели // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2003. Вып. 5. - С. 3-1б.

102. Вечтомов Е. М., Ковязина Е. М. Метод Гаусса как теоретический метод в линейной алгебре // Математический вестник педвузов Волго - Вятского региона. 2000. Вып. 2. - С. 95-99.

103. Вигнер Е. Этюды о симметрии. - М.: Мир, 1971.

104. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX века. - М.: Физматгиз, 19б0.

105. Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине. - М.: Сов. радио, 19б8.

106. Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. - М.: ИЛ, 1958.

107. Витгенштейн Л. Философские работы: В 2 ч. - М., 1994.

108. Владимиров Ю. С. Метафизика. - М.: Бином: Лаборатория знаний, 2002.

109. Войтов А. Г. История и философия науки: Учеб. пособие для аспирантов. - М.: Дашков и Ко, 200б.

110. Войцехович В. Э. Господствующие стили математического мышления // В кн. [517]. - С. 495-505.

111. Войшвилло Е. К. Понятие как форма мышления: логико - гносеологический анализ. - М.: Изд-во МГУ, 1989.

112. Волович М. В. Математика без перегрузок. - М.: Педагогика, 1991.

113. Волошинов А. В. Математика и искусство. - М.: Просвещение, 1992.

114. Волошинов А. В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. - М.: Просвещение, 1993.

115. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. - М.: Мир, 1983.

116. Воронцов В. В. Симфония разума. - М.: Молодая гвардия, 1977.

117. Вригт фон Г. Х. Логико-философские исследования. - М.: Прогресс, 198б.

118. Всемирная энциклопедия: Философия / Гл. науч. ред и сост. А. А. Грицанов. - М.: АСТ; Мн: Харверст: Современный литератор, 2001.

119.  Всероссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков», Дубна, сентябрь 2000. - М.: МЦНМО, 2000.

120. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. - М.: Наука, 1967.

121. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. - М.: Наука, 1977.

122. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - Ростов-н/Д: Феникс, 1995.

123. Выготский Л.С. Педагогическая психология. - М.: Педагогика, 1991.

124. ГадамерХ.-Г. Истина и метод. - М., 1988.

125. Гайденко П. П. Научная рациональность и философский разум. - М.: Прогресс-Традиция, 2003.

126. Галкин Е. В. Нестандартные задачи по математике: Задачи логического характера: Кн. для учащихся 5-11 кл. - М.: Просвещение, 1996.

127. Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. - М.: Просвещение, 1986.

128. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971.

129. ГарднерМ. Есть идея! - М.: Мир, 1982.

130. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. - М.: Мир, 1993.

131. Гастев Ю. А. Гомоморфизмы и модели. - М.: Наука, 1975.

132. Гегель Г. В. Работы разных лет. Т. 2. - М.: Мысль, 1973.

133. Гегель Г. В. Ф. Наука логики. - М.: Мысль, 1974.

134. Гейзенберг В. Физика и философия. Часть и целое. - М.: Наука, 1989.

135. Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. - М.: Мир, 1965.

136. Гейтинг А. Тридцать лет спустя // В кн. [340]. - С. 224-228.

137. Генкин С. А. и др. Ленинградские математические кружки / С. А. Генкин, И. В. Итенберг, Д. В. Фомин. - Киров: АСА, 1994.

138. Герменевтика: история и современность. - М.: Мысль, 1985.

139. Гильберт Д. Основания геометрии. - М.; Л.: ОГИЗ-Гостехиздат, 1948.

140. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. - М.: ИЛ, 1947.

141.Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: В 2 т. - М.: Наука, 1979, 1982.

142.Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. - М.; Л.: ГИТТЛ, 1951.

143. Гладкий А. В. Математическая логика. - М.: Изд-во РГГУ, 1998.

144. Гладкий А. В. Введение в современную логику. - М.: МЦНМО, 2001.

145. Глейзер Г. И. История математики в школе. IV-VI классы. - М.: Просвещение, 1981.

146. Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. - М.: Просвещение, 1982.

147. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. - М.: Просвещение, 1983.

148. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. - М.: ОГИЗ, 1946.

149. Гнеденко Б. В. Математическое образование в вузах. - М.: Высш. шк., 1981.

150. Гнеденко Б. В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. - М.: Просвещение, 1982.

151. Гнеденко Б. В. Математика и математическое образование в современном мире. - М.: Просвещение, 1985.

152.Гнеденко Б. В. Введение в специальность математика. - М.: Наука, 1991.

153. Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики. - М.: Мир, 1983.

154. Гончаров С. С. и др. Введение в логику и методологию науки / С. С. Гончаров, Ю. Л. Ершов, К. Ф. Самохвалов. - М.: Интерпракс, 1994.

155. Горский Д. П. Определение. - М., 1974.

156. Горский Д. П. Обобщение и познание. - М., 1985.

157. Готт В. С., Землянский Ф. М. Диалектика развития понятийной формы мышления. - М., 1981.

158. Григорян А. А. Закономерности и парадоксы развития теории вероятностей. Философско-методологический анализ. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

159. Громыко Н. В. Интернет и постмодернизм - их значение для современного образования // Вопросы философии. 2002. № 2. - С. 175-180.

160. Гротендик А. Урожаи и посевы. Размышления о прошлом математики. Прелюдия в 4 частях. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 1995.

161. Груденов Я. И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. - М.: Педагогика, 1987.

162. Грэхем Р. Начала теории Рамсея. - М.: Мир, 1984.

163. Грэхем Р.. Конкретная математика. Основание информатики / Р. Грехем, Д. Кнут, О. Паташник. - М.: Мир, 1998.

164. Грязнов А. Ю. Абсолютное пространство как идея чистого разума // Вопросы философии. 2004. № 2. - С. 127-147.

165. Губарев В. Академик В. И. Арнольд: Путешествие в Хаосе (интервью) // Наука и жизнь. 2000. № 12. - С. 2-10.

166. Губин В. Б. О физике, математике и методологии. - М.: ПАИМС, 2003.

167. Губин В. Б. Синергетика как новый пирог для «постнеклассических ученых» или отзыв на автореферат докторской диссертации // Философские науки. 2003. № 2. - С. 121-155.

168. Гудстейн Р. Л. Математическая логика. - М.: ИЛ, 1961.

169.Гудстейн Р. Л. Рекурсивный математический анализ. - М.: Наука, 1970.

170. Гусев В. А. Как помочь ученику полюбить математику? - М.: Авангард, 1994.

171. Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. - М.: Вербум-М, 2003.

172. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. м-лы: Кн. для учащихся. - М.: Просвещение, 1988.

173. Гусинский Э. Н., Турчанинова Ю. И. Введение в философию образования. - М.: Логос, 2001.

174. Гуссерль Э. Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии. - М., 1999.

175. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты: Очерки по истории математики. - М.: Мир, 1986.

176. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения: Монография. - М.: Интор, 1997.

177. Давыдов В. В., Варданян А. У. Учебная деятельность и моделирование. - Ереван, 1981.

178. Далингер В. А. Обучение учащихся доказательству теорем: Учеб. пособие. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002.

179. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. - М.: ИЛ, 1962.

180.Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они служат. - Казань, 1905.

181.  Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. - Одесса, 1911.

182.Декарт Р. Сочинения: В 2 т. - М.: Мысль, 1989.

183. Деннет Д. Постмодернизм и истина. Почему нам важно понимать это правильно // Вопросы философии. 2001. № 8. - C. 93-100.

184.Депман И. Я. История арифметики. - М.: Просвещение, 1965.

185.Дерри Д. Фундаментализм и антифундаментализм // Вопросы философии. 2002. № б. - С. 89-95.

186.Джемс У. Психология. - М.: Педагогика, 1991.

187. Дойч Д. Структура реальности. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

188.  Дорофеев Г. В. Математика для каждого / Предисл. Л. Д. Кудрявцева. - М.: Аякс, 1999.

189. Дорофеев Г. В. и др. Пособие по математике для поступающих в вузы: Избранные вопросы элементарной математики / Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов. - М.: Наука, 1970.

190. Дротянко Л. Г. Социокультурная детерминация фундаментальных и прикладных наук // Вопросы философии. 2000. № 1. - С. 91-101.

191.  Друянов Л. А. Законы природы и их познание. - М.: Просвещение, 1982.

192. Дрюк М. А. Синергетика: позитивное знание и философский импрессионизм // Вопросы философии. 2004. № 10. - С. 102-113.

193.Дубровский Д. И. Постмодернистская мода // Вопросы философии. 2001. № 8. - С. 42-55.

194.Душенко К. В. Большая книга афоризмов. - М.: Эксмо, 2003.

195. Дьедонне Ж. Абстракция в математике и эволюция алгебры // В кн. [440]. - С. 41-53.

196. Дьяченко В. К. Сотрудничество в обучении: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1991.

197.Дэвис М. Прикладной нестандартный анализ. - М.: Мир, 1980.

198. Евлампиев И. И. История русской метафизики в XIX-XX веках. Русская философия в поисках Абсолюта. - СПб., 2000.

199. Евлампиев И.И. Неклассическая метафизика или конец метафизики? Европейская философия на распутье // Вопросы философии. 2003. № 5. - С. 159-171.

200. Елисеев Е. М. Проективная геометрия. - Арзамас: Изд-во АГПИ, 2003.

201. Епишева О. Б. Общая методика преподавания математики в школе. - Тобольск: Изд-во Тобол. гос. пед. ин-та, 1997.

202. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. - М.: Наука, 1979.

203. Ершов Ю. Л., Самохвалов К. Ф. О новом подходе к методологии математики // В кн. [211]. - С. 85-10б.

204.  Есенин-Вольпин А. С. Об антитрадиционной (ультра­интуиционистской) программе оснований математики в естественно-научном мышлении // Вопросы философии. 1996. № 8. - С. 100-136.

205.  Ефимов Н. В. Высшая геометрия. - М.: Наука, 1978 (издание шестое).

206.  Жданов Г. Б. Информация и сознание // Вопросы философии. 2000. № 8. - С. 97-104.

207.  Жмудь Л. Я. Пифогор и его школа (ок. 530-ок. 430 гг. до н. э.). - Л.: Наука. Ленинградское отделение, 1990.

208.  Жохов А. Л. Мировоззренческое направленное обучение математике в общеобразовательной и профессиональной школе (теоретический аспект): Монография. - М.: Изд. центр АПО, 1999.

209.  Загвязинский В. И. Теория обучения. Современная интерпретация. - М.: Изд. центр «Академия», 2001.

210.  Закономерности развития современной математики / Сб. статей. - М.: Наука, 1978.

211.  Закономерности развития современной математики. Методологические аспекты / Под ред. М. И. Панова. - М.: Наука, 1987.

212.  Захаров В. Д. Метафизика в науках о природе // Вопросы философии. 1999. № 3. - С. 97-111.

213.  Захаров В. Д. Физика как философия природы. - М.: Едиториал УРСС, 2005.

214.  Захаров В. К. Локальная теория множеств // Математические заметки. 2005. Т. 77. № 2. - С. 194-212.

215.  Зельдович Я. Б., Яглом И. М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. - М.: Наука, 1982.

216.  Зенкевич И. Г. Эстетика урока математики. - М.: Просвещение, 1981.

217.  Зенкин А. А. Когнитивная компьютерная графика. Применения в теории натуральных чисел. - М.: Наука, 1991.

218.  Зенкин А. А. Метод супериндукции: логическая акупунктура математической бесконечности // В кн. [39]. - С. 151-168.

219.  Зенкин А. А. Ошибка Георга Кантора // Вопросы философии. 2000. № 2. - С. 165-168.

220.  Зенкин А. А. Новый подход к анализу проблемы парадоксов // Вопросы философии. 2000. № 10. - С. 79-90.

221.  Зенкин А. А.
Infinitum Actu Non Datur // Вопросы философии. 2001. № 9. - С. 157-169.

222.  Зимняя И. А. Педагогическая психология: Учебник для вузов. - М.: Логос, 1999.

223.  Зинченко В. П. Образ и деятельность. - М.: Ин-т прикладной психологии; Воронеж: НПО «МЭДОК», 1997.

224.  Иванов О. А. Избранные главы элементарной математики. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995.

225.  Иванова Т. А. Гуманитаризация общего математического образования: Монография. - Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 1998.

226.  Иванова Т. А. и др. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учеб. пособие / Т. А. Иванова, Е. Н. Перевощикова, Т. П. Григорьева, Л. И. Кузнецова; Под ред. Т. А. Ивановой. - Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 2003.

227. Ивин А. А. Современная философия науки. - М.: Высш. шк., 2005.

228.  Ившин В.В. Математика и философия. - Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-та, 1999.

229.  Игошин В. И. Логика с элементами математической логики. (Лекции для студентов гуманитарных специальностей). - Саратов: Научная книга, 2004.

230.  Икеда Д., Садовничий В. На рубеже веков. Диалоги об образовании и воспитании. - М., 2004.

231. Ильенков Е. В. Диалектическая логика. - М.: Прогресс, 1977.

232.  Ильин И. П. Постструктурализм. Деконструктивизм. Постмодернизм. - М., 1996.

233.  Ильин И. П. Постмодернизм от истоков до конца столетия: эволюция научного мифа. - М., 1998.

234.  Инфельд Л. Эварист Галуа (избранник богов). - М.: Молодая гвардия, 1960.

235.  История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: В 3 т. - М.: Наука, 1970-1972.

236.  История математики XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей / Под ред. А. Н. Колмогорова, А. П. Юшкевича. - М.: Наука, 1978.

237. История отечественной математики: В 4 т. - Киев: Наук. думка, 1966-1970.

238. Ительсон Л. Б. Психологические основы обучения. - М.: Знание, 1978.

239.  Каганов М. И., Любарский Р. Я. Абстракция в математике и физике. - М.: Физматлит, 2005.

240.  Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: Учеб. пособие по спецкурсу. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2002.

241.  Кановей В. Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. - М.: Наука, 1984.

242.  Кант И. Критика чистого разума // Сочинения: В 6 т. Т. 3. - М.: Мысль, 1964.

243.  Кант И. Метафизические начала естествознания // Сочинения: В 6 т. Т. 6. - М.: Мысль, 1966.

244. Кантор Г. Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985.

245.  Капица С.П. и др. Синергетика и прогнозы будущего / С. П. Капица, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий. - М.: Едиториал УРСС, 2003.

246.  Карпенко А. С. Современные исследования в философской логике // Вопросы философии. 2003. № 9. - C. 54-75.

247. Карри Х. Основания математической логики. - М.: Мир, 1969.

248. Картеси Ф. Введение в конечные геометрии. - М.: Наука, 1980.

249.  Касьян А. А. Контекст образования: наука и мировоззрение. - Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 1996.

250.  Катречко С. Л. Как возможна метафизика? // Вопросы философии. 2005. № 9. - C. 83-94.

251.  Кац М., Улам С. Математика и логика. Ретроспектива и перспективы. - М.: Мир, 1971.

252.  Кацивели Г. К. Математика и действительность // Историко - математические исследования. 1975. Вып. 20. - С. 11-27. (Заметим, что этим псевдонимом воспользовался известный математик Г. Е. Шилов.)

253.  Кедровский О. И. Методологические проблемы развития математического познания. - Киев: Вища шк., 1977.

254. КейслерГ., Чэн Ч.Ч. Теория моделей. - М.: Мир, 1977.

255. Кириллин В. А. Страницы истории науки и техники. - М.: Наука, 1986.

256.  Киселев Г. С. Постмодерн и христианство // Вопросы философии. 2001. № 12. - С. 3-15.

257.  Клайн М. Логика против педагогики // Сб. научно-методических статей по математике. - Вып. 3. - М., 1973. - С. 46-61.

258. Клайн М. Математика. Утрата определенности. - М.: Мир, 1984.

259. Клайн М. Математика. Поиск истины. - М.: Мир, 1988.

260.  Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2 т. - М.: Наука, 1987.

261.  Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. - М.: Наука, 1989.

262. Клини С. К. Введение в метаматематику. - М.: ИЛ, 1957.

263. Клини С. К. Математическая логика. - М.: Мир, 1973.

264.  Кнабе Г. С. Местоимения постмодерна (обзор некоторых событий, фактов и текстов) // Сквозь границы: Культурологический альманах. Вып. 3. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. - С. 111-143.

265.  Князева Е. Н., Курдюмов С. П. Основания синергетики. Режимы с обострением, самоорганизация, темпомиры. - М.: Алетейя, 2002.

266.  Когаловский С. Р. О «высших» и «низших» формах мышления в обучении математике. - Шуя: Изд-во Шуйского гос. пед. ун-та, 2005.

267.  Когаловский С. Р. Поиски метода и методы поиска (онтогенетический подход к обучению математике): Монография. - Шуя: Изд-во Шуйского гос. пед. ун-та, 2005.

268.  Когаловский С. Р. и др. Путь к понятию (От интуитивных представлений к строгому понятию) / С. Р. Когаловский, Е. А. Шмелева, О. В. Герасимова. - Иваново, 1998.

269. КолесниковМ. С. Лобачевский. - М.: Молодая гвардия, 19б5.

270.  Колмогоров   А. Н. Математика - наука и профессия. - М.: Наука, 1988.

271.  Колмогоров А. Н. Математика в ее историческом развитии. - М.: Наука, 1991.

272.  Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. - М.: Изд-во МГУ, 1982.

273.  Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Дополнительные главы: Учеб. пособие. - М.: Изд-во МГУ, 1984.

274.  Колмогоров Н. А и др. Сборник задач для подготовки учащихся средних школ к математическим олимпиадам / Н. А. Колмогоров, Ф. Ф. Нагибин, В. В. Чудиновских. - Горький: Волго-Вятское кн. изд., 19б8.

275. Кольман Э. История математики в древности. - М.: ГИФМЛ, 19б1.

276.  Колягин Ю. М. Русская школа и математическое образование. - М.: Просвещение, 2001.

277.  Колягин Ю. М., Оганесян В. А. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. - М.: Просвещение, 1977.

278.  Копнин П. В. Диалектика как логика и теория познания. - М.: Наука, 1973.

279.  Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1984.

280.  Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. - М.: Радио и связь, 1982.

281. Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. - М.: Мир, 1969.

282.  Краткий отчет о социологическом исследовании, посвященном современному состоянию отечественного образования // Философские науки. 2006. № 1. - С. 153-155.

283.  Кричевец А. Н. Кризис математических наук и математического образования: эпистемологический подход // Вопросы философии. 2004. № 11.

-  С. 103-115.

284. Кругляков Э. Почему опасна лженаука // Наука и жизнь. 2002. № 3.

-  С. 2-5.

285.  Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников: Монография. - М.: Просвещение, 1968.

286.  Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука, 1985.

287.  Кудрявцев Л. Д. Среднее образование. Проблемы. Раздумья. - М.: МГУП, 2003.

288.  Кузнецов В. И. и др. Естествознание / В. И. Кузнецов, Г. М. Илдис, В. Н. Гутина. - М.: АГАР, 1996.

289. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. - М.: Наука, 1990.

290. Кулаков Ю. И. Синтез науки и религии // Вопросы философии. 1999. № 2. - C. 142-153.

291. Кун Т. Структура научных революций. - М.: Прогресс, 1975.

292. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - М.: Просвещение, 1967.

293.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1968 (издание девятое).

294.  Кутателадзе С. С. Наука, псевдонаука и лженаука: препринт. - Новосибирск: Ин-т мат. СО РАН, 2004. № 137. - С. 1-25.

295.  Кутырев В. А. Оправдание бытия (явление нигитологии и его критика) // Вопросы философии. 2000. № 5. - С. 15-32.

296.  Кутырев В. А. Философия иного, или Небытийный смысл трансмодернизма // Вопросы философии. 2005. - № 7. С. 21-33. № 12. С. 3-19.

297. Кутюра Л. Философские принципы математики. - СПб., 1913.

298.  Кушнер Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу. - М.: Наука, 1973.

299. Кэрролл Л. История с узелками. - М.: Мир, 1985.

300. Лакатос И. Доказательства и опровержения. - М.: Наука, 1967.

301. Лакатос И. Фальсификация и методология научно - исследовательских программ. - М.: Медиум, 1995.

302. Лебег А. Об измерении величин. - М.: Гос. уч.-пед. изд. Мин. прос. РСФСР, 1960.

303. Левитин К. Е. Геометрическая рапсодия. - М.: ИД «Камерон», 2004.

304. Лейбниц Г. В. Сочинения: В 4 т. - М.: Мысль, 1984-1989.

305. Лекторский В. А. Теория познания (гносеология, эпистемология) // Вопросы философии. 1999. № 8. - С. 72-80.

306. Лекторский В. А. Эпистемология классическая и неклассическая. - М.: Эдиториал УРСС, 2001.

307. Лекторский В. А. Возможна ли интегргация естественных наук и наук о человеке? // Вопросы философии. 2004. № 3. - С. 44-49.

308. Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1968.

309. Леонтьев А. А. Основы психолингвистики. - М.: Смысл, 1997.

310. Ливанова А. М. Три судьбы. - М.: Знание, 1975.

311. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2 т. - М.: Мир, 1988.

312. Линдон Р. Заметки по логике. - М.: Мир, 1968.

313. Логика научного познания. - М.: 1987.

314. Лосев А. Ф. Диалектические основы математики // Хаос и структура. - М.: Мысль, 1997. - С. 18-608.

315. Лузин Н. Н. Теория функций действительного переменного. Общая часть: Учеб. пособие для педвузов. - М.: Гос. уч.-пед. изд. Наркомпроса РСФСР, 1940.

316. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. - М.: Просвещение, 1987.

317. Мадер В. В. Введение в методологию математики. - М.: Интерпракс, 1995.

318. Малаховский В. С. Введение в математику: Учеб. издание - Калининград: Янтарный сказ, 1998.

319. Малаховский В. С. Избранные главы истории математики. - Калининград: Янтарный сказ, 2002.

320. Малых А. Е., Алябьева В. Г. К вопросу о возникновении конечных проективных геометрий // История и методология естественных наук. Вып. XXXV. Математика, механика: Сб. - М.: Изд-во МГУ, 1980. - С. 57-66.

321. Мальцев А. И. Алгебраические системы. - М.: Наука, 1970.

322.  Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. - М.: Наука, 1986.

323. Мамардашвили М. К. Как я понимаю философию. - М.: Прогресс, 1990.

324.  Мамчур Е. А. Идеалы единства и простоты в научном познании // Вопросы философии. 2003. № 12. - С. 100-112.

325. Манин Ю. И. Доказуемое и недоказуемое. - М.: Сов. радио, 1980.

326. Манин Ю. И. Вычислимое и невычислимое. - М.: Сов. радио, 1980.

327. Марков А. А. О логике конструктивной математики. - М.: Знание, 1972. № 8.

328. Марков А. А., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. - М.: Наука, 1984.

329.  Марков С. Н. Курс истории математики. - Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 1995.

330.  Маркова Л. А. От математического естествознания к науке о хаосе // Вопросы философии. 2003. № 7. - С. 78-91.

331.  Математика в образовании и воспитании / Сост. В. Б. Филиппов. - М.: ФАЗИС, 2000.

332.  Математика в понятиях, определениях и терминах: В 2 ч. - М.: Просвещение, 1978, 1982.

333. Математика в современном мире. - М.: Мир, 1967.

334.  Математика, ее содержание, методы и значение: В 3 т. - М.: Изд-во АН СССР, 1956.

335.  Математика и искусство: Труды Международной конференции. - М., 1997.

336.  Математика и практика; Математика и культура: Сб. статей. - М.: «Самообразование» и МФ «Семигор», 2000.

337. Математика и практика; Математика и культура. № 3: Сб. статей. - М.: НОУ «Луч», 2003.

338.  Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Сост. Г. Д. Глейзер. - М.: УРАО, 2001.

339. Математики о математике. - М.: Наука, 1982.

340. Математическая логика и ее применения. - М.: Мир, 1965.

341. Математическая энциклопедия: В 5 т. - М.: Сов. энцикл., 1977­1985.

342. Математический энциклопедический словарь. - М.: Сов. энцикл., 1988.

343. Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. - М.: Физматлит, 1993.

344. Махмутов М. И. Проблемное обучение. - М.: Педагогика, 1973.

345.Медведев Ф. А. Развитие теории множеств в XIX веке. - М.: Наука, 19б5.

346. Медведев Ф. А. Ранняя история аксиомы выбора. - М.: Наука, 1982.

347. Мельников Ю. Б. Математическое моделирование: структура, алгебра моделей, обучение построению математических моделей: Монография. - Екатеринбург: Урал. изд-во, 2004.

348.Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М.: Наука, 1971.

349. Менский М. Б. Квантовая механика, сознание и мост между двумя культурами // Вопросы философии. 2004. № б. - C. б4-74.

350. Менчинская Н. А. Проблемы учения и умственного развития школьников: Монография. - М.: Педагогика, 1989.

351. Метельский Н. В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. - Минск: Вышейш. шк., 1977.

352. Метельский Н. В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы. Учеб. пособие для вузов. - Минск: Изд-во БГУ, 1982.

353. Метельский Н. В. Пути совершенствования обучения математике: Монография. - Минск: Изд-во БГУ, 1990.

354. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985.

355. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика / Сост. В. И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987.

356. Методологический анализ оснований математики / Под ред. М. И. Панова. - М.: Наука, 1988.

357. Микешина Л. А. Философия науки: Учеб. пособие. - М.: Прогресс - Традиция, 2005.

358. Миракова Т. Н., Дорофеев Г. В. Программа спецкурса для физико - математических факультетов пединститутов // Математика в школе. 2005. № 5. - С. 55-б3.

359. Миронов В. В. Коммуникационное пространство как фактор трансформации современной культуры и философии // Вопросы философии. 200б. № 2. - С. 27-43.

360. Михайлов Ф. Т. Образование и власть // Вопросы философии. 2003. № 4. - С. 31-47.

361.Моисеев Н. Н. Экология человечества глазами математика. - М., 1988.

362. Моисеев Н. Н. Современный рационализм. - М., 1995.

363. Моисеев Н. Н. Быть или не быть, человечеству? - М.: Наука, 1999.

364. Моисеев Н. Н. Логика динамических систем и развитие природы и общества // Вопросы философии. 1999. № 4. - C. 3-10.

365. Молодший В. Н. Основы учения о числе в XVIII веке: Пособ. для учителей. - М.: Гос. уч.-пед. изд. Мин. прос. РСФСР, 1953.

366. Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики. - М.: Просвещение, 1969.

367. Морделл Л. Размышления математика. - М.: Знание, 1971.

368. Мордкович А. Г. Беседы с учителями математики: Кн. для учителя.

-  М.: Школа-пресс, 1995.

369.  Мордкович      А.Г. Алгебра. 7 кл.: В 2-х ч. 8 кл.: В 2-х ч. 9 кл.: В 2-х ч. - М.: Мнемозина, 2003.

370. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В 2 ч. - М.: Мнемозина, 2003.

371. Мордухай-Болтовский Д. Д. Философия. Психология. Математика.

-  М.: Серебряные нити, 1998.

372. Морозова Е. А. и др. Международные математические олимпиады / Е. А. Морозова, И. С. Петраков, В. А. Скворцов. - М.: Просвещение, 1976.

373. Мышкис А. Д. О преподавании математики прикладникам // Математика в высшем образовании. 2003. № 1. С. 37-52.

374. Мясникова Л. А. Экономика постмодерна и отношения собственности // Вопросы философии. 2002. № 7. - C. 5-16.

375. Назарова О. А. Онтологическая гносеология С. Франкла как основа самооправдания метафизики // Философские науки. 2006. № 3. - С. 41-49.

376. Назиев А. Х. Гуманитарно ориентированное преподавание математики в общеобразовательной школе: Монография. - Рязань: Изд-во РИРО, 1999.

377. Налимов В. В. Вероятностная модель языка. О соотношении естественных и искусственных языков. - М.: Наука, 1974.

378. На путях обновления школьного курса математики: Сб. статей и материалов: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1978.

379.  Начала Евклида. Кн. I-VI. - М.; Л.: ОГИЗ-Гостехиздат, 1948.

380.  Нейгебауэр О. Точные науки в древности. - М.: Наука, 1968.

381. Ненашев М. И. Введение в логику: Учеб. пособие. - М.: Гардарики, 2004.

382. Непейвода В. В. О формализации неформализуемых понятий: автопродуктивные системы теорий // Семиотика и информатика. 1985. Вып. 25. - С. 46-93.

383.  Непейвода В. В. Прикладная логика. - Новосибирск: Изд-во Новосибир. гос. ун-та, 2000.

384. Непейвода В. В. Вызовы логики и математики XX в. и «ответ» на них цивилизации // Вопросы философии. 2005. № 8. - С. 118-128.

385. Никифоров А. Л. Философия науки: история и методология. - М., 1998.

386.  Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. - М., 1990.

387.  Новиков П. С. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973.

388. Новиков П. С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. - М.: Наука, 1977.

389. Новоселов М. М. Абстракция множества и парадокс Рассела // Вопросы философии. 2003. № 7. - С. 67-77.

390. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика (с упражнениями и решениями). - М.: Мир, 1999.

391.  Образование, которое мы можем потерять: Сб. / Под общ. ред. В. А. Садовничего. - М.: МГУ им. М. В. Ломоносова; Ин-т компьютерных исследований, 2002.

392.  Оганесян В. А. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В. Я. Саннинский. - М.: Просвещение, 1980.

393.  Одинец В. П. Зарисовки по истории математики. - Сыктывкар: Изд-во Коми гос. пед. ин-та, 2005.

394.  Ойзерман Т. И. Философия как история философии. - СПб.: Алетейя, 1999.

395.  Оконь В. Введение в общую дидактику. - М.: Высш. шк., 1990.

396.  Окстоби Дж. Мера и категория. - М.: Мир, 1974.

397.  Окулов С. М. Научная картина мира (исторический экскурс) // Вестник ВятГГУ. 2003. № 9. - C. 21-26.

398.  Окулов С. М. Развитие интеллекта школьника как принцип организации синергетической среды обучения информатике: Автореф. дис. д - ра пед. наук по специальности 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (информатика). - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004.

399.  Окулов С. М. Информатика: Развитие интеллекта школьников. - М.: БИНОМ: Лаборатория знаний, 2005.

400.  Окулов С. М., Юлов В. Ф. О скрытых сдвигах в философских основаниях современных педагогических инноваций // Вестник ВятГГУ. 2005. № 13. - C. 18-22.

401.  Оленьев В. В., Федотов А. П. Глобалистика на пороге XXI века // Вопросы философии. 2003. № 4. - С. 18-30.

402.  Осинская В. Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике: Кн. для учителя. - Киев: Радяньска шк., 1989.

403.  Очерки по истории математики / Под ред. Б. В. Гнеденко. - М.: Изд-во МГУ, 1997.

404.  Павлов К. А. Существует ли неискуственный интеллект? // Вопросы философии. 2005. № 4. - С. 76-85.

405.  Пайтген Х. О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образцы комплексных динамических систем. - М.: Мир, 1993.

406.  Панарин А. С. Постмодернизм и глобализация: проект освобождения собственников от социальных и национальных обязательств // Вопросы философии. 2003. № 6. - С. 16-36.

407.  Панов М. И. Методологические проблемы интуиционистской математики. - М.: Наука, 1084.

408.  Паршин А. Н. Размышления над теоремой Геделя // Вопросы философии. 2000. № 6. - С. 92-109.

409.  Паршин А. Н. Дополнительность и симметрия // Вопросы философии. 2001. № 4. - С. 84-104.

410.  Паршин А. Н. Путь. Математика и другие миры. - М.: Добросвет, 2002.

411.  Перминов В. Я. Ложные претензии социокультурной философии науки // В кн. [517]. - С. 235-253.

412.  Перминов В. Я. Философия и основания математики. - М.: Прогресс-Традиция, 2001.

413.  Перминов В. Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

414.  Перминов В. Я. Априорность математики // Вопросы философии. 2005. № 3. - С. 103-117.

415.  Петер Р. Игра с бесконечностью. - М.: Просвещение, 1968.

416.  Петров Ю. А. Логическая функция категорий диалектики. - М.: Наука, 1972.

417.  Петров Ю. А. Философские проблемы математики. - М.: Знание, 1973.

418.  Петров Ю. А. Диалектика научных абстракций в математическом познании. - М.: Изд-во МГУ, 1986.

419.  Петросян В. К. Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления. - М., 1997.

420.  Пехлецкий И. Д. Структурно-количественный анализ как аппарат дидактических исследований (педагогико-математический аспект): Дис. ... д-ра пед. наук. - Пермь: Перм. гос. пед. ин-т, 1988.

421.  Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления // В кн. [440]. - С. 10-30.

422.  Пиаже Ж. Избранные психологические труды. - М.: Просвещение, 1969.

423.  Платон. Сочинения: В 4 т. - М.: Мысль, 1990-1995.

424.  Подниекс К. М. Вокруг теоремы Геделя. - Рига, 1981.

425.  Подниекс К. М. Платонизм, интуиция и природа математики. - Рига, 1988.

426.  Позер Х. Математика и Книга Природы. Проблема применимости математики к реальности // Эпистемология и философия науки. 2004. № 1. - С. 34-52.

427.  ПойаД. Математика и правдоподобные рассуждения. - М.: Наука, 1975.

428.  Пойа Д. Математическое открытие. - М.: Наука, 1976.

429.  Пойа Д. Как решать задачу. - Львов: Квантор, 1991.

430.  Полани М. Личностное знание. - М., 1985.

431.  Полякова Т. С. История математического образования в России. - М.: Изд-во МГУ, 2002.

432.  Полякова Т. С. Двухвековой юбилей высшего математического образования в России // Математика в высшем образовании. 2003. № 1. - С. 117-124.

433.  Пономарев Я. А. Психология творения. - М.: Моск. психол.-соц. ин-т; Воронеж: НПО «МЭДОК», 1999.

434.  Попов В. А. Новые основы дифференциального исчисления: Учеб. пособие для спецкурсов. - Сыктывкар: ПОЛИГРАФ-СЕРВИС, 2002.

435.  Попов Ю. П., Пухначев Ю. В. Математика в образах. - М.: Знание, 1989.

436.  Поппер К. Логика и рост научного знания. - М.: Прогресс, 1983.

437.  Порус В. Н. Является ли наука самоорганизующейся системой? // Вопросы философии. 2006. № 1. - С. 95-108.

438.  Постников М. М. Является ли математика наукой? // Математическое образование. 1997. № 2. - С. 83-88.

439.  Потоцкий М. В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте: Из опыта работы. - М.: Просвещение, 1975.

440.  Преподавание математики: Пособие для учителей. - М.: Учпедгиз, 1960.

441.  Проблемы Гильберта / Под общ. ред. П. С. Александрова. - М.: Наука, 1969.

442.  Проблемы философии и методологии современного естествознания. - М.: Наука, 1973.

443.  Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. - М.: Едиториал УРСС, 2003.

444.  Пружинин Б. И. Ratio serviens? // Вопросы философии. 2004. № 12.

-  С. 41-55.

445.  Прытков В. П. Оправдание синергетики // Вопросы философии. 2001. № 4. - С. 14б-149.

446.  Пуанкаре А. О науке. - М.: Наука, 1983.

447.  Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. - М.: Наука, 1972.

448.  Рассел Б. История западной философии. - М., 1959.

449.  Рассел Б. Введение в математическую философию. - М.: Гнозис, 1998.

450.  Рассел Б. Философия логического атомизма. - Томск: Изд-во Томского гос. ун-та, 1999.

451.  Рассел Б. Человеческое познание: его сфера и границы. - М.: Терра-Книжный клуб: Республика, 2000.

452.  Рассказы о математике и математиках / Сост. С. М. Львовский.

-  М.: МЦНМО, 2000.

453.  Раушенбах Б. В. Системы перспективы в изобразительном искусстве: Общая теория перспективы. - М.: Наука, 198б.

454.  Реале Дж., Антисери Д. Западная философия от истоков до наших дней: В 3 т. - СПб.: ТОО ТК «Петрополис», 1994-199б.

455.  Реньи А. Трилогия о математике. - М.: Мир, 1980.

456.  Рид К. Гильберт. - М.: Наука, 1977.

457.  Рингель Г. Теорема о раскраске карт. - М.: Мир, 1977.

458.  Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. - М.: Наука, 19б7.

459.  Ровинский Р. Е. Синергетика и процессы развития сложных систем // Вопросы философии. 200б. № 2. - С. 1б2-1б9.

460.  Родионов М. А. Мотивация учения математике и пути ее формирования. - Саранск: Изд-во Мордов. гос. пед. ин-та, 2001.

461.  Розин В. М. Педагогика в ситуации перехода. Опыт гуманитарного исследования и преподавания // Философские науки. 200б. № 2. - С. 95-101; № 3. - С. 88-107.

462.  Розов Н. Х. Что и как преподавать? Вечные вопросы курса школьной математики // Материалы Всероссийской научной конференции. - Саранск: Изд-во Мордов. гос. пед. ин-та, 1998. - С. 177-181.

463.  Розов Н. Х. Гуманитарная математика // Математика в высшем образовании. 2003. № 1. - С. 53-б2.

464.  Розов Н. Х. Проблема размещения новых понятий и объектов в школьном курсе математики // Материалы Всероссийской научно- практической конференции. - Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. пед. ун-та, 2005. - С. 56-64.

465.  Россман В. Разум под лезвием красоты // Вопросы философии.

1999.№ 12. - С. 52-62.

466.  Рузавин Г. И. О природе математического знания. - М.: Мысль, 1968.

467.  Рузавин Г. И. Философские проблемы оснований математики. - М.: Наука, 1983.

468.  Рузавин Г. И. Новый структурный подход к математике и некоторые проблемы ее методологии // В кн. [211]. - C. 155-169.

469.  Русанов В. В., Росляков Г. С. История и методология прикладной математики: Учеб. пособие. - М.: Изд-во ф-та ВМК МГУ, 2004.

470.  Рыбников К. А. Очерк истории теории графов // История и методология естественных наук. Вып. XXXVI. Математика, механика: Сб. - М.: Изд-во МГУ, 1986. - С. 109-122.

471.  Рыбников К. А. Возникновение и развитие математической науки: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1987.

472. Рыбников К. А. История математики. - М.: Изд-во МГУ, 1994.

473.  Рыбников К. А. Введение в методологию математики: Тезисы лекций. - М.: Изд-во МГУ, 1994-1995.

474.  Садовничий В. А. Математическое образование: настоящее и будущее: Доклад на Всерос. конф. «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков», г. Дубна, 19 сентября 2000 г. - М.: МЦНМО,

2000.  

475.  Садовничий В. А. Знание и мудрость в глобализирующемся мире // Вопросы философии. 2006. № 2. - С. 3-15.

476.  Садовничий В. А.. Задачи студенческих математических олимпиад / В. А. Садовничий, А. А. Григорян, С. В. Конягин. - М.: Изд-во МГУ, 1987.

477.  Саломаа А. Жемчужины теории формальных языков. - М.: Мир, 1986.

478.  Самсонов А. Л. На пути к ноосфере // Вопросы философии. 2000. № 7. - С. 53-61.

479.  Саранцев Г. И. Методология методики обучения математике. - Саранск: «Красный Октябрь», 2001.

480.  Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе. - М.: Просвещение, 2002.

481.  Саранцев Г. И. Эстетическая мотивация в обучении математике: Монография. - Саранск: ПО РАО: Мордов. гос. пед. ин-т, 2003.

482.  Сауров Ю. А. Основы методологии методики обучения физике: Монография. - Киров: Изд-во Киров. ИУУ, 2003.

483.  Сафуанов И. С. Теория и практика преподавания математических дисциплин в педагогических институтах. - Уфа: Магрифат, 1999.

484.  Сачков Ю. В. Вероятность как загадка бытия и познания // Вопросы философии. 2006. № 1. - С. 80-94.

485.  Сборник московских математических олимпиад / Под ред. В. Г. Болтянского. - М.: Просвещение, 1965.

486.  Селевко Г. К. Современные образовательные технологии. - М.: Народное образование, 1998.

487.  Сеногноева Н. А. Обучающие тесты: Инновационная педагогическая технология: Монография. - Нижний Тагил: Изд-во НГСПА, 2005.

488.  Серебряников О. Ф. Эвристические принципы и логическое мышление. - М., 1979.

489.  Серпинский В. О. О теории множеств. - М.: Просвещение, 1966.

490.  Сидоренко Е. А. Логика. Парадоксы. Возможные миры (размышления о мышлении в девяти очерках). - М.: УРСС, 2002.

491.  Сингх С. Великая проблема Ферма. - М.: МЦНМО, 2000.

492.  Синергетике - 30 лет. Интервью с профессором Г. Хакеном // Вопросы философии. 2000. № 3. - С. 53-61.

493.  Синергетическая парадигма. Когнитивно-коммуникативные стратегии современного научного познания / Под. ред. Л. П. Киященко. - М., 2004.

494.  Синергетическая парадигма. Человек и общество в условиях нестабильности. - М.: Прогресс-Традиция, 2003.

495.  Славин А. В. Наглядный образ в структуре познания. - М.: ИПЛ, 1971.

496.  Смаллиан Р. Как же называется эта книга? - М.: Мир, 1981.

497.  Смаллиан Р. Принцесса или тигр? - М.: Мир, 1985.

498.  Смальян Р. Теория формальных систем. - М.: Наука, 1981.

499.  Смирнов В. И. Учитель и книга. - М.: Логос, 2002.

500.  Смирнов Е. И. Технология наглядно-модельного обучения математике. - Ярославль: Изд-во Ярослав. гос. пед. ун-та, 1998.

501.  Смолин О. Н. Социально-философские основания стратегии модернизации России: роль образования и науки // Философские науки. 2006. № 1. - С. 5-27; № 2. - С. 5-25; № 3. - С. 5-14.

502.  Смышляев В. К. О математике и математиках. Очерки. - Йошкар - Ола: Марийское кн. изд-во, 1977.

503.  Сноу Ч. П. Две культуры. - М.: Прогресс, 1973.

504.  Соболева М. Е. Возможна ли метафизика в эпоху постмодерна? К концепции трансцендентального прагматизма Карла-Отто Апеля // Вопросы философии. 2002. № 7. - С. 143-154.

505.  Совертков П. И. Занимательное компьютерное моделирование в элементарной математике. - М.: Гелиос АРВ, 2004.

506.  Современная философия науки: знание, рациональность, ценности в трудах мыслителей Запада: Учебная хрестоматия. - М.: Логос, 1996.

507.  Современные проблемы методики преподавания математики. - М.: Просвещение, 1985.

508.  Современные философские проблемы естественных, технических и социально-гуманитарных наук: Учебник для аспирантов и соискат. уч. степ. кандидата наук / Под общ. ред. В. В. Миронова. - М.: Гардарики, 2006.

509.  Сойер У. Прелюдия к математике. - М.: Просвещение, 1972.

510.  Сойер У. Путь в современную математику. - М.: Мир, 1972.

511.  Сокулер З. А. Знание и власть: наука в обществе модерна. - СПб.: РХГИ, 2001.

512.  Сосинский А. Б. Умер ли Никола Бурбаки? // Математическое просвещение (третья серия). - 1998. Вып. 2. - С. 4-13.

513.  Сошинский С. А. Чудо в системе мироздания // Вопросы философии. 2001. № 9. - С. 82-97.

514.  Справочная книга по математической логике: В 4 ч. - М.: Наука, 1982-1983.

515.  Степин В. С. Саморазвивающиеся системы и постнеклассическая рациональность // Вопросы философии. - 2003. № 8. - С. 5-17.

516.  Степин В. С. и др. Философия науки и техники / В. С. Степин, В. Г. Горохов, М. А. Розов. - М., 1996.

517.  Стили в математике: социокультурная философия математики / Под ред. А. Г. Барабашева. - СПб.: РХГИ, 1999.

518.  Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. - М.: Просвещение, 1968.

519.  Столович Л. Н. Философия красоты. - М.: Политиздат, 1978.

520.  Столяр А. А. Логические проблемы преподавания математики. - Минск: Высш. шк., 1965.

521.  Столяр А. А. Педагогика математики. - Минск: Вышэйш. шк., 1969.

522.  Столяр А. А. Логическое введение в математику. - Минск: Вышэйш. шк., 1971.

523.  Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. - М.: Наука, 1984.

524.  Структура и развитие науки. - М., 1978.

525.  Стюарт Я. Концепции современной математики. - Минск: Вышэйш. шк., 1980.

526.  Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. - М.: Наука, 19б7.

527.  Султанова Л. Б. Роль неявных предпосылок в историческом обосновании математического знания // Вопросы философии. - 2004. № 4. - С. 102-115.

528.  Суходольский Г. В. Введение в математико-психологическую теорию деятельности. - СПб., 1998.

529.  Сухотин А. К. Философия математики: Учебное пособие [Электронный ресурс] / http://ou.tsu.ru/hischool/filmatem/. 2003.

530.  Тарасенко В. В. Метафизика фрактала // В кн. [517]. - С. 421-437.

531.Тарасов Б. Н. Паскаль. - М.: Молодая гвардия, 1982.

532.  Тарасов Л. В. Этот удивительно симметричный мир: Пособ. для учащихся. - М.: Просвещение, 1982.

533.  Тарасов Л. В. Мир, построенный на вероятности: Кн. для учащихся. - М.: Просвещение, 1984.

534.  Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. - М.: ИЛ, 1948.

535.  Тейяр де Шарден П. Феномен человека. - М., 1987.

536.  Тестов В. А. Стратегия обучения математике. - М.: Технологич. школа бизнеса, 1999.

537.  Тестов В. А. «Социокультурные истоки» в контексте развития новой образовательной парадигмы. - М.: Изд. дом «Истоки», 2005.

538.  Тестов В. А. Модернизация математического образования: противоречия и перспективы // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 200б. Вып. 8. - С. 207-213.

539.  Тимофеева И. Л. Математическая логика. Курс лекций: В 2 ч.: Учеб. пособие. - М.: Прометей, 2003.

540.  Тихомиров В. М. О некоторых особенностях математики XX века // Историко-математические исследования. Вторая серия. 1999. Вып. 3 (38). - С. 178-197.

541.  Тихомиров В. М., Успенский В. В. Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение (третья серия). 1997. Вып. 1. - С. 50-70.

542.  Толстой Л. Н. Круг чтения: Избранные, собранные и расположенные на каждый день Л. Толстым мысли многих писателей об истине, жизни и поведении: В 2 т. - М.: Политиздат, 1991.

543.  Том Р. Современная математика - существует ли она? // Математика в школе. 1975. № 1. - C. 89-93.

544.  Томпсон М. Философия науки. - М.: ФАИР-ПРЕСС, 2003.

545.  Тростников В. Н. Мысли перед рассветом. - Париж: YMCA - PRESS, 1980.

546.  Трубецков Д. И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

547.  Тьюринг А. Может ли машина мыслить? - М.: ГИФМЛ, 1960.

548.  Тяпкин А. А., Шибанов А. С. Пуанкаре. - М.: Мол. гвардия, 1982.

549.  Уайтхед А. Избранные работы по философии. - М.: Прогресс, 1990.

550.  Узоры симметрии. - М.: Мир, 1980.

551.  Успенский В. А. Теорема Геделя о неполноте. - М.: Наука, 1982.

552.  Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ? - М.: Наука, 1987.

553.  Успенский В. А. Семь размышлений на темы философии математики // В кн. [211]. - С. 106-155.

554.  Успенский В. А. Что такое аксиоматический метод? - Ижевск: Науч.-изд. центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

555.  Федотов А. П. Глобалистика: Начала науки о современном мире: Курс лекций. - М.: Аспект Пресс, 2002.

556.  Федотова Н. Н. Глобализация и образование // Философские науки. 2003. № 4. - С. 5-24.

557.  Фейерабенд П. Избранные труды по методологии науки. - М.: Прогресс, 1986.

558.  Фейнберг Е. Л. Две культуры. Интуиция и логика в искусстве и науке. - Фрязино: Век 2, 2004.

559.  Фейнман Р. Характер физических законов. - М.: Наука, 1987.

560.  Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении. - М.: Просвещение, 1967.

561.  Философия. Логика. Язык / Общ. ред. А. П. Горского, В. В. Петрова. - М.: Прогресс, 1987.

562.  Философская энциклопедия: В 5 т. - М.: Сов. Энцикл., 1960-1970.

563.  Философские проблемы естествознания / Под ред. С. Т. Мелюхина. - М.: Высш. шк., 1985.

564.  Философский энциклопедический словарь. - М., 2004.

565.  Философско-методологические вопросы математики. Основная советская литература (1959-1981 гг.). - М.: АН СССР, 1981.

566.  Философы педагогам: Формирование научного мировоззрения в процессе преподавания естественных и математических дисциплин в средней школе. - М.: Прогресс, 1976.

567.  Финн В. К. Неологицизм - философия обоснованного знания // Вопросы философии. 1996. № 8. - С. 89-99.

568.  Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. - М.: Наука, 1966 (издание шестое).

569.  Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире. - М.: Изд-во МГУ, 1992.

570.  Фор Р и др.. Современная математика / Р. Фор, А. Кофман, М. Дени-Папен. - М.: Мир, 1966.

571.  Франк С. Л. Предмет знания. Душа человека. - СПб., 1995.

572.  Фреге Г. Основоположения арифметики. - М., 2000.

573.  Фрейденталь Г. Язык логики. - М.: Наука, 1969.

574.  Фрейденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. - М.: Мир, 1977.

575.  Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. - М.: Мир, 1966.

576.  Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. - М.: Просвещение, 1983.

577.  Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача: В 2 ч. - М.: Просвещение, 1982, 1983.

578.  Хайтун С. Д. Эволюция Вселенной // Вопросы философии. 2004. № 10. - С. 74-92.

579.  Хакен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1980.

580.  Хакен Г. Тайны природы. Синергетика: учение о взаимодействии. - М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

581.  Халмош П. Р. Теория меры. - М.: ИЛ, 1953.

582.  Харари Ф. Теория графов. - М.: Мир, 1973.

583.  Хаусдорф Ф. Теория множеств. - М.; Л.: Гостехиздат, 1937.

584.  Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. - М., 1980.

585.  Хинтикка Я. Действительно ли логика - ключ ко всякому хорошему рассуждению? // Вопросы философии. 2000. № 11. - С. 105-125.

586.  Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел. - М.; Л.: ОГИЗ, 1948.

587.  Хинчин А. Я. Педагогические статьи. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963.

588.  Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. - М.: Наука, 1977 (издание четвертое).

589.  Холодная М. А. Психология интеллекта: Парадоксы исследования.

-  М.: РАН, 1997.

590.  Хорган Д. Конец науки. Взгляд на ограниченность знания на закате Века Науки. - СПб.: Амфора, 2001.

591.  Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. - М.: Просвещение, 1976.

592.  Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. - М.: Просвещение, 1977.

593.  Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ: В 2 т. - М.: Наука, 1975.

594.  Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. - М.: Наука, 1983.

595.  Черепанов С. К. Основания и парадоксы: Новый подход к решению проблем логического обоснования математики. - Красноярск, 1995.

596.  Черепанов С. К. Обоснование математики: новый взгляд на проблему [Электронный ресурс]/ http://www.portalus.ru/modelus/philosophy/. 2005.

597.  Чернавский Д. С. Синергетика и информация. Динамическая теория информации. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

598.  Чернавский Д. С., Чернавская Н. М. К онтологии научного творчества. Синергетический подход // Эпистемология и философия науки. 2004. № 1. - С. 114-130.

599.  Черч А. Введение в математическую логику. - М.: ИЛ, 1960.

600.  Черч А. Математика и логика // В кн. [340]. - С. 209-215

601.  Чжао Юань-жень. Модели в лингвистике и модели вообще // В кн. [340]. - С. 281-292.

602.  Чижов Е. Б. Введение в философию математических пространств.

-  М.: Едиториал УРСС, 2004.

603.  Чудинов В. А. Атомистические концепции в современном естествознании. - М.: Наука, 1986.

604.  Шалютин С. М. Содержательные и формальные аспекты познавательного процесса // Диалектика познания и современная наука. - М.: Мысль, 1973.

605.  Шапиро С. И. От алгоритмов - к суждениям (Эксперименты по обучению элементам математического мышления). - М.: Сов. радио, 1973.

606.  Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры / Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 11. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.) - М., 1986.

607.  Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии: В 2 т. - М.: Наука, 1988.

608.  Шафаревич И. Р. О некоторых тенденциях развития математики // Москва. 1990. № 12. - С. 3-6.

609.  Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры // Математическое образование. Журнал Фонда математического образования и просвещения. - М., 1997. № 1-3; 1998. № 1-4.

610.  Швейцер А. Благоговение перед жизнью. - М.: Прогресс, 1992.

611.  Швырев В. С. Теоретическое и эмпирическое в научном познании. - М.: Наука, 1978.

612.  Шевелев И. Ш. и др. Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии / И. Ш. Шевелев, М. А. Марутаев, И. Л. Шмелев. - М.: Стройиздат, 1990.

613.  Шенфилд Дж. Математическая логика. - М.: Наука, 1975.

614.  Шрамко Я. Ошибка Георга Кантора? // Вопросы философии. 2001. № 9. - C. 154-156.

615.  Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. - М.: Наука, 1971.

616.  Шрейдер Ю. А., Шаров А. А. Системы и модели. - М.: Радио и связь, 1982.

617.  Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. - М.: Наука, 1972.

618.  Шумилин А. Т. Проблемы структуры и содержания процесса познания. - М.: Изд-во МГУ, 1969.

619.  Щедровицкий Г. П. Философия. Наука. Методология. - М., 1997.

620.  Эдвардс Р. Функциональный анализ: Теория и приложения. - М.: Мир, 1969.

621.  Эйнштейн А. О науке. Собрание научных трудов: В 4 т. Т. 4. - М., 1967.

622.  Энгелер Э. Метаматематика элементарной математики. - М.: Мир, 1987.

623.  Эндрю А. Искусственный интеллект. - М.: Мир, 1985.

624.  Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989.


625.  Энциклопедия элементарной математики: В 5 кн. - М.; Л.: Гостехиздат. - М.: Наука, 1951-19бб.

626.  Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Обучение математике в школе. Укрупнение дидактических единиц: Книга для учителя. - М.: Столетие, 199б.

627.  Юлов В. Ф. Мышление в контексте сознания. - М.: Академический проект, 2005.

628.  Юшкевич А. П. История математики в средние века. - М.: Физматгиз, 19б1.

629.  Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 г. - М.: Наука, 19б8.

630.  Яглом И. М. Булева структура и ее модели. - М.: Сов. радио, 1980.

631.  Яглом И. М. Математические структуры и математическое моделирование. - М.: Радио и связь, 1980.

632.  Яглом И. М. Что такое математика // Квант. 1992. № 9. - С. 2-8.

633.  Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников. - М.: Педагогика, 1980.

634.  Яковлев В. А. Бинарность ценностных ориентаций науки // Вопросы философии. 2001. № 12. - C. 77-8б.

635.  Яковлева Л. Е. От феноменологии Гуссерля к метафизическому реализму Х. Субиди // Вопросы философии. 2002. № 5. - С. 153-15б.

636.  Яновская С. А. Методологические проблемы науки. - М.: Мысль, 1972.

Примечание. Рекомендуем читателям также следующие периодические издания:

сборники «Историко-математические исследования» (обе серии), «История и методология естественных наук. Математика. Механика», «Сборник научно-методических статей по математике», «Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона» и др.;

журналы «Квант», «Математика в школе», «Математическое просвещение» (все три серии), «Математическое образование» (журнал Фонда математического образования и просвещения, выходит с 1997 года), «American Mathematical Monthly», «Вопросы философии», новые журналы «Математика в высшем образовании» (Нижний Новгород) и «Математика в образовании» (Чебоксары), газету «Математика».

Полезно знать различные математические и философские энциклопедии и словари [118, 341, 342, 5б2, 5б4, б24, б25], справочники [9, 49, 54, 5б, 121, 122, 172, 279, 300, 332, 514, 594], хрестоматии [338, 591, 592]. Иметь в виду:

научно-популярную литературу, включающую биографии знаменитых ученых и их открытия [34, 70, 234, 269, 310, 339, 415, 435, 455-457, 531, 548, 554], серии «Жизнь замечательных людей», «Жизнь замечательных идей» «Популярные лекции по математике», выпуски библиотечки «Квант», «Мир знаний» и т. д.;

труды корифеев науки [15, 16, 38, 69, 84, 105, 106, 133, 139, 141, 174, 182, 186, 242, 244, 281, 302, 304, 321, 343, 379, 423, 446, 451, 535, 547, 549, 572, 621];

материалы методико-математических и методологических конференций, скажем, [72, 100, 119, 462, 464];

литературу по занимательной математике [126-130, 299, 303, 496, 497]; сборники олимпиадных задач, например [127, 137, 274, 372, 485].

Научное издание Вечтомов Евгений Михайлович Метафизика математики

Редактор: О. Коробкова Технический редактор: В. Варанкина Дизайн обложки: П. Горев

Подписано в печать 15.05.2006 г. Формат 60x84 1/16 Бумага типографская. Усл. печ. л. 26,7 Тираж 300. Заказ 165

Издательство Вятского государственного гуманитарного университета

610002, г. Киров, ул. Красноармейская, 26

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ООО «Лобань»

610046, г. Киров, ул. Ленина, 198

ВЯТСКИЙ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ новой экономики

НОВАЯ ЭКОНОМИКА

Монография

Под редакцией проф. Е.Ф. Авдокушина, проф. B.C. Сизова

Москва 2008

Издательство «Магистр» Содержание

Предисловие Ю. М. Осипов

Новая экономика и благо людей В. С. Сизов

О новой экономике и благе России Раздел I

Вопросы теории и методологии новой экономики Е. Ф. Авдокушин

К вопросу о сущности и особенностях «новой экономики» В. С. Сизое

Неоэкономика как стратегия развития экономики

B.  Г. Маюров

Общее и особенное: феодализм, капитализм и новое индустриальное общество

C.  Г. Ерохин

Анализ этапов постиндустриальной трансформации Э. Г. Кочетов

Интеллект в поисках нового знания: глобалистика как научная дисциплина начала XXI века Д. В. Вальяно

Информационные технологии: расходная статья или фактор роста?

A. 
А.          Лейрих

Масштабы и динамика показателей формирования сектора «новой экономики» И. В. Лавров

Парадигма богатства в экономической теории Б. Б. Шмытов

Некоторые аспекты новой экономики в России

B. 
С. Сизов

Эволюция содержания предпринимательской деятельности в условиях новой экономики Раздел II

Новая мировая экономика Е. Ф. Авдокушин

Международное производство - основа новой мировой экономики И. А. Кудряшова

Инвестиционные аспекты глокализации мировой экономики А. Е. Авдокушин

Стратегические альянсы ТНК - новая форма транснационализации мировой экономики П. В. Павлов

Перспективы развития особых экономических зон как модульно-трансграничных институтов включения народного хозяйства России в мировую экономическую систему

Е. Ф. Авдокушин, О. В. Климовец

Компании КНР и России в процессах транснационализации мировой экономики

Раздел III Финансомика

Е. Ф. Авдокушин

Финансовая экономика в системе новой мировой экономики

A. 
А.         Сенин

Финансовые инновации как порождение нестабильности мирового финансового рынка

Е. Ф. Авдокушин, Е. Ф. Малова

Секьюритизация как инструмент финансомики

Е. Н. Иванова

Экстернальный эффект и эффект глобализации в контексте эволюционной экономической теории

С. П. Иванова

Основные направления онлайнового банковского бизнеса в «новой экономике» Раздел IV

Факторы новой экономики Е. Ф. Авдокушин

Аутсорсинг НИОКР в развитии новой мировой экономики Г. Ю. Гвоздкова

Об использовании механизма стратегического управления организационной культурой М. Н. Авдокушина

Рейтинговые оценки в формировании инвестиционного климата

B. 
С. Касьянов

Трансформация моделей управления бизнесом в условиях неоэкономики Б. Б. Виногродский, В. С. Сизое

Национальная культура как основа успешного бизнеса (на примере китайской экономики) М. Н. Авдокушина

Некоторые подходы к оценке стоимости деловой репутации компании

Г. Ю. Гвоздкова

Роль организационной культуры в новой экономике В. И. Оноприенко

Современные коммуникационно-организационные формы нео-предприятий

Е. Ф. Авдокушин, А. Е. Евстигнеев

Актуальные проблемы современного брэндинга

В. С. Сизов

Альтернатива теневому управлению

A. 
Е. Евстигнеев

Ставка на брэнд в стратегическом управлении компаниями финансового сектора Раздел V

Технологии новой экономики И. В. Минченкова

Электронные технологии в системе «новой экономики» Д. В. Вальяно

Эффективные стратегии электронного правительства И. Н. Олейникова

Научно-инновационная компонента общественного воспроизводства: концептуальные аспекты

Н. Д. Воробьев, В. А. Столярова

Регулирование инновационных процессов в России

Р. П. Скляренко

Россия на мировом рынке технологий М. Свиткова

Национально-правовые особенности регулирования франчайзинговых соглашений Л. И. Кочурова

Новая модель инновационной экономики предприятий торгово-производственной сферы

B. 
С. Сизов

Диагностика профиля организационных стратегий

Е. Ф. Авдокушин, К. В. Некрасовский

«Нефтяное (ресурсное) проклятие» и дефицит стимулов

Сведения об авторах

Предисловие

Новая экономика и благо людей

Благо людей — это... а что есть благо людей?... в самом деле... ибо для одного человека это одно, к примеру, вкусно и обильно поесть, а для другого... безудержу что-то творить, не взирая на материальное благополучие, а для третьего... вытворять что-нибудь непотребное, например... убивать... тех же людей.

Вот мы и попались — нет этого самого блага!

И остается только одно: жить, удовлетворять потребности (самые разные!), размножаться (уже не обязательно всем), умирать (тоже ведь благо, если правильно посмотреть). Тогда какому-такому благу служит экономика и уж тем более новая экономика?

Но сначала два слова об экономике. Экономика — это особый — обменно-оценочный, или товарно-денежный, или стоимостной — способ реализации, или организации, человеческого жизнеотправления, а короче — хозяйства. Отсюда новая экономика это не более чем новая по качеству экономика, т. е. новый по качеству обменно-оценочный, товарно-денежный, стоимостной способ хозяйства.

Что же тут явилось нового? Если одним словом, то... виртуализация, которая получила толчок к бурному (и буйному!) развитию вовсе не сегодня, а заметно раньше — хотя бы с крахом золотого стандарта в 1930-е гг., когда деньги перестали (или переставали) опираться на что-то производственное и вещественное, а главное — реальное, а стали, уже ни на что внешне относительно себе не опираясь, опираться лишь на... самих себя, обретя со временем (с крахом Бреттон-Вудской мировой денежной системы на рубеже 1960—1970-х гг.) полностью виртуальное бытие.

За деньгами в виртуальность, т. е. обретая опору лишь в самих себе, кинулись цены, капиталы, ссудные проценты, ренты, в общем, все экономическое.

И вот в этом-то отрыве экономики от реальности, или в виртуализации экономики, и состоит суть превращения экономики в новую экономику, или экономику эпохи Постмодерна (в Премодерне — до европейского Возрождения — экономика была, скажем так, внутри хозяйства, в Модерне, с Возрождения до середины XX в. — вместе с хозяйством, а в Постмодерне она уже стала над хозяйством, или экономикой ради экономики, экономикой для самой себя, самой по себе экономикой).

Теперь не экономика от хозяйства, а хозяйство от экономики — свободной, раздутой, наглой. Сначала экономика, а потом хозяйство, хотя нельзя сказать, что экономика вовсе игнорирует хозяйство, — нет, она прислушивается к хозяйству, знает его, снимает с него потребную информацию, запускает его, дожидается нужных результатов в общем — умело и дотошно управляет хозяйством, его симбиозно, или паразитарно, эксплуатируя.

Инвестиции (вливания) — экономика, доходы (выливания) — тоже экономика, а остальное, все то, что посредине, — хозяйство. Грубая формула, но, увы, верная!

Какая по материалу экономика более всего соответствует именно такой виртуальной экономике? Ответ: финансовая, когда не просто деньги работают, а работают деньги в соответствии и в рамках собственно финансовых расчетов, а потом уже всего остального. Финансовая система сегодня, или финансизм, — главная экономическая и хозяйственная счетно-решающая система: уж коли виртуализация, то и непременно и финансизация — без границ!

Отсюда и тотальная информатизация, т. е. знание финансомикой всего и вся, как и ее проникновение во все и вся; отсюда и преклонение перед новым знанием, без которого никакого управления хозяйством не получится, даже пузыря финансового не получится — новое, новое, новое! отсюда и инновации, без которых новая экономика — финансовая и виртуальная — просто бессмысленна, ибо не удержится; отсюда и всяческая фиктивность продукта (товара), предложения и спроса, фиктивность цен, инвестиций, доходов, а потом и самой жизни!

Новая экономика — свободная, раздутая и наглая — гиперэкономика, а хозяйство, которое она ведет, — гиперхозяйство, наполовину ненужное, а на четверть — вредное, а может, и наоборот, — однако, как нас уверяет новая экономика, эффективная — для себя и по-своему.

Оторвавшись от реальности, но ею все-таки придирчиво и упорно ведая, новая экономика, или гиперэкономика, имеет дело, помимо реальности, все более с ирреальностью, созидаемой новоэкономическим человеком, среди которой и разного рода интеллектуальные продукты, а главное — с пустотой внутри себя, тоже кстати, интеллектуальной. Отсюда и любые гиперпараметры: массы денег, ценность денег, цены, расходы, доходы, кредиты, невозвраты кредитов и т. д.

Гиперэкономика и гиперхозяйство — хорошо! — да вот только жить-то как в этом ирреальном искусственном мире, да и для чего, разве лишь для разного рода похоти в том числе и виртуальной, и финансовой, и интелектуальной?

Отсюда и проблема блага... а может и антиблага... впрочем каких?... опять же и для кого?... для людей?... каких-таких людей?...что из мегаполиса, что киборги, что завзятые игроки, что завзятые туристы? Вот и выходит, что благо тут только одно: встраиваться в новую экономику, эту гиперэкономику, чтобы рвать и рвать ее на себя, либо чтобы получать от нее что-то — ради выживания либо роскошествования. Никакого иного экономического блага просто нет, а потому и человек давно уже есть человек экономический, а сейчас — новоэкономический (с компьютером, английским языком и никому не нужными, кроме самой гиперэкономики, инновациями — инновациями ради инноваций, эффективностью ради эффективности, прогрессом ради прогресса).

Все переплетено в этом странном мире: Постмодерн, новая экономика, киборги, антиблага, инновации, сумасшествие... и море диссертаций, однако о чем и... для чего? Ясно, что не для науки и тем более не для жизни, тогда для чего? А-а, чтобы цивилизации знания и информатики успешно соответствовать. Но в итоге то что? Роскошный особняк с бассейном и «Мерседесом» за трехметровым забором? И ради этого сожрать всю земную природу и продать целую планету подешевке на космическом аукционе? О-ох, ну и времечко!

Писать про новую экономику надо, но... и понимать ее тайны невредно, ибо чудище тут зело чудесно!

Ю.М. Осипов

вице-президент Академии гуманитарных наук, академик Российской академии естественных наук, директор Центра общественных наук МГУ доктор экономических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ

О новой экономике и благе России

Все хотят блага России, а больше всех - согласно позиции официальных новостей - Правительство и чиновники; однако, если судить по телерепортажам и СМИ, - то это уже будут разнообразные политики и партии, которые они представляют; если же попробовать проанализировать ситуацию, находясь на каком-нибудь форуме или конференции, - никаких сомнений не останется в том, что блага для России в первую очередь хотят, безусловно, ученые, писатели и предприниматели. И в результате может сложиться впечатление, что все представители общества преследуют единую цель, все заодно, все в одной упряжке! Только вот никак она не превратится в знаменитую русскую тройку, резво несущуюся по необъятным просторам под веселый и радостный перезвон колокольчиков на зависть иноземным соседям! И это при том, что у многих нет никаких сомнений, что и Правительство с чиновниками, и журналисты, и политики, и ученые, и предприниматели - абсолютно все желают роста экономического и политического статуса страны и искренно радеют о благе России! Отчего же складывается настолько нерадостная картина, если все о благе пекутся? И почему сегодняшняя российская ситуация с ее возом неразрешимых противоречий и социальных проблем больше напоминает Лебедя, Рака и Щуку из басни.

В чем кроется причина того, что от очередных успехов Лебедя, которыми он бравирует, Раку «ни горячо, ни холодно», а Щуке так и вовсе становится нечем дышать? При этом Раку приходится прилагать титанические усилия, чтобы просто удержаться на земле после очередного «успеха» своих «соупряжников». Щука же, как всякая рыба, ищет, где поглубже, и тянет всех в омут, не задумываясь о том, каково там будет остальным.

Кто есть кто в этой аллегории, не имеет значения, но становится понятным, что у каждой социальной группы или, если хотите, - класса свое представление о благе России. Это представление базируется, прежде всего, на осознании собственных выгод, которые не вполне верно отождествляются с благом для России в целом. Очевидно, что политики и чиновники - это еще не вся Россия, как бы им этого ни хотелось. Как и ученые, предприниматели, журналисты или артисты, даже если они объединены в ту или иную партию, - тоже всего лишь часть нашего общества. Вот и получается: то, что является благом для чиновника, не является таковым для предпринимателя или ученого, а для какого-нибудь учителя или фермера - и вовсе смерть.

Может возникнуть вопрос: как же быть со стабильно увеличивающимися экономическими показателями, о которых наглядно свидетельствуют ежегодные статистические отчеты Росстата? Рост ВВП, средней заработной платы, пенсий и т.д. - все это очевидно. Однако налицо чудовищная дифференциация доходов населения, а, следовательно, и возможностей в приобретении благ, различающаяся в разных социальных группах в десятки раз. К тому же следует учитывать увеличивающуюся территориальную дифференциацию, при которой средние доходы жителей столицы становятся больше доходов жителей других регионов в 3-6 раз!

Да, действительно, в наше время сотни тысяч, а быть может, и несколько миллионов россиян стали жить значительно лучше предыдущего «советского» поколения. Однако элементарные расчеты того, сколько продуктов питания и повседневной одежды мог позволить себе приобрести 25-30 лет назад средний «советский человек» на свою «среднюю» зарплату в 120-140 рублей, после уплаты обязательных платежей (налогов и коммунальных расходов), и того, что может позволить себе купить сегодня такой же усредненный россиянин (исключая, конечно, москвичей) на свою усредненную зарплату, после тех же обязательных вычетов, покажут, что за прошедшее время, включая и последние годы, гордо именуемые «периодом экономического роста», покупательские возможности россиян увеличились не на много и далеко не у всех, в отличие от жителей развитых стран или активно развивающегося Китая, где эти возможности увеличились значительно. То, что мы теперь можем легко покупать телевизоры, холодильники и мебель - является заслугой не нашей экономики, а зарубежных технологий, их рыночной экономики и конкурентной борьбы между опять-таки зарубежными производителями, сумевшими превратить «предметы роскоши», в «товары повседневного спроса». Так о каких успехах и о чьем благосостоянии нам свидетельствуют цифры Росстата? О том, «что в целом по больнице температура нормализуется»? Но если продифференцировать среднюю зарплату (не говоря уже о пенсиях), окажется, что десятки миллионов россиян сегодня не могут жить даже на таком очень скромном уровне благосостояния, который могло себе позволить предыдущее поколение.

Эта ситуация прекрасно известна экономистам, которые об этом много пишут, и правящим кругам, которые об этом предпочитают молчать. Мы же затронули данную проблему для того, чтобы подчеркнуть очевидную мысль: благо какой-либо страны (рассматриваемой не как синоним государства) бессмысленно выражать в цифрах ВВП, инвестиций в промышленность и роста капитализации. Это западные экономисты, убежденные в существовании общечеловеческих ценностей и с укоренившимися в их сознании представлениями о гражданских правах и свободах, априори наивно предполагают, что от роста ВВП страны, так или иначе, выигрывают все ее граждане. Такая зависимость, безусловно, верна для Евросоюза, США или, например, Саудовской Аравии, но только не для России, живущей по своим особым «суверенным» экономическим законам, в результате которых большей части россиян от экономических успехов государства, не перепадает ничего. По всем правилам развитого капитализма, если то или иное предприятие получило дополнительную прибыль, его собственники вполне «законно» (поскольку у нас законы такие) рассуждают, что эта прибыль принадлежит им и только им, и распоряжаются ею по своему усмотрению. А обычные работники, не являясь более сособственниками криминально приватизированных предприятий, получают ровно столько, за сколько они готовы продать свой труд, чтобы не умереть с голоду, как и положено при капитализме.

Какой же вывод? Может ли Россия стать процветающим государством? Да, конечно! Она практически уже является таковой. Но значит ли это, что вскоре нашу страну ждет всеобщее благоденствие? Вот по данному поводу есть большие сомнения. Все потому, что Лебедь, Рак и Щука думают и действуют в соответствии со своими понятиями о благе, вместо того чтобы найти общую, единую для всех основу, которая на самом деле очень проста. Благо России - это совокупная удовлетворенность всех ее граждан своей жизнью и благодарных судьбе за то, что они россияне!

Возникает вопрос: при чем тут «новая экономика»? На наш взгляд «новая экономика» хотя и является «экономикой знаний» и «информационной экономикой», но, прежде всего это гуманистическая, антропоцентрическая экономика. То, что это действительно так, следует из самого ее характера, поскольку выделение в качестве главной экономической субстанции «знаний», «информации», указывает на их главного носителя и потребителя - человека. Реальный, а не «экономический» человек, возможно, впервые в истории экономики становится центральной фигурой экономических исследований. Эти исследования в «новой экономике» неразрывно переплетены со всеми иными антропологическими дисциплинами: философией, социологией, политологией, психологией, правом и даже этикой. Предметом экономической науки в «новой экономике», становится не только и не столько изучение законов хозяйствования, производственных отношений или «отношения людей к вещам», сколько взаимоотношения между людьми с целью повышения эффективности их взаимодействия за счет глобального интегрирования, прежде всего интеллектуального капитала, а уж затем всего прочего.

Задача «новой экономики» заключается не только в изучении того, каким образом создаются необходимые для людей блага, но и в ответе на вопрос, как удовлетворить разносторонние потребности каждого индивида, как достичь того, чтобы личность испытывала наслаждение от своей деятельности во благо других и всего общества в целом.

Безусловно, ответ на этот вопрос является и решением проблемы того, как нам добиться вслед за процветанием нашего государства и его отдельных представителей, блага для всех остальных россиян, то есть блага для всей России. Издание настоящей монографии, на наш взгляд, является пусть и небольшим, но вполне конкретным шагом в указанном направлении. В книгу вошли статьи различных авторов, так или иначе думающих, исследующих и пишущих о «новой экономике» и опубликованные ранее в период с 2004 по 2008 год в научно-методических журналах «Межрегиональная группа ученых - институт проблем новой экономики» и «Вопросы новой экономики».

B.C. Сизов

ректор Вятского социально-экономического института, главный редактор журнала «Вопросы новой экономики», доктор экономических наук, профессор

Раздел I